利用轴对称求最短距离的几点思考

摘要：最短距离，这类问题出现的试题，内容多样、综合性高、方法巧妙、与各类知识点有很好的结合点。轴对称在解决最短距离问题中有着重要的作用。本文就轴对称的一些题型的变式进行归纳整理，并将轴对称知识点巧妙融合于其他知识点，以此加深学生对轴对称知识的理解，同时，学生能够意识到轴对称的数学意义，有利于循序渐进的提升学生在轴对称方面的学习能力。

关键词：数学；最短距离；轴对称；能力

生活中，许多图形具备轴对称的特征，轴对称除了常运用于生活实际，还是解决数学中“最短距离”的主要“利器”之一。运用轴对称知识解决最短距离问题，对数学素养、数学方法技能的掌握、数学思想有着比较综合的要求，这也符合新课改对数学教学提出的基本需要，充分满足学生学习需求。学习者实际学习的过程中，应做好充分准备工作，即“欲善其事，必利其器”。选用适合的解题工具，能够提高教学效率，促使学生根据自我学习情况掌握有效的解题方法，探究这一论题的过程中，本文通过举例的方式予以分析。

人教版针对本文所探究的数学问题这样介绍：八年级上学期12.2作轴对称图探究：燃气管道l紧邻两座小镇，分别将其命名为A和B，为了实现良好的供气效果，务必选择合理位置开展泵站修建活动，与此同时，还应具体掌握泵站维修位置，确保燃气输送距离和维修距离达到最短，具体分析表现为：我们知道，如果点A，B分别在直线两侧，那么两点之间，线段最短，直接连接AB就可以了，现在解决的关键在于A，B在直线的同侧，怎样把它们转化到直线两侧，问题就得到解决。如果作出点A关于直线的对称点A1，那么对称轴上的点到点A，A1的距离相同，将直线作为点A的对称轴，对其设置相应的对称点，将设置完成的对称点命名为A1，这时所修建泵站的最短距离能够准确确定，应用上述“两点之间，直线最短”的理论知识点为依据，寻找到直线和A1B间的交汇点即可。

具体操作如下图所示，根据上述分析过程，结合示意图求解最短距离。

理由：如图，根据轴对称的性质可知PA=PA1，∴PA+PB=PA1+PB=BA1。

如果另外任选异于点P的点P1，

连接P1A、P1A1、P1B，则有P1A=P1A1。

在△P1A1B中，P1A1+P1B>A1B，即P1A+PB>A1B，

∴PA+PB最短。

从中能够看出，分析最短距离的过程中，应用轴对称思想，并在这一数学思想指导下践行轴对称行为，能够在短时间内找到解决实际问题的有效方法，并且现实问题能够通过理论知识应用的方式高效解决，这对学生数学思维拓展有重要意义，同时，学生能够意识到轴对称知识在实际生活中的应用效果，有利于激发学生的学习积极性。下文进行了变式分析，即最短距离问题无论以何種形式呈现，均能应用轴对称知识高效解决。

一、 基本变式

设置问题的过程中，通过图形对称特性进行变式问题设置。

（1）正方形ABCD，该图形AB边中点用E表示，AB=4，对角线AC存在动点P，则PB+PE的最小值是。

（2）⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠BOC=30°， P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是。

（3）∠AOB=30°，P是∠AOB内一点，OP=8，Q、R分别是OA、OB边上的动点，则△PQR周长的最小值是。

解：（1）B关于AC的对称点为D，连接DE交AC于P，此时PB+PE的值最小，最小值为25。

（2）延长AO交⊙O于点A1，由圆的对称性可知，A与A1关于直线OB对称，连接A1C交OB于P，则PA+PC=PA1+PC=A1C最小。

连接AC，AA1是⊙O的直径，则∠ACA1=90°。

又∠BOC=30°，OA⊥OB，

∴∠AOC=60°，∠AA1C=30°，

∴AC=2，∴A′C=42-22=23，

∴PA+PC的最小值为23。

（3）分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″分别交OA、OB于点Q、R，则△PQR的周长=PR+RQ+PQ=P″R+RQ+P′Q=P′P″最小，

因为∠AOB=30°，∴∠P′OP″=60°，OP′=OP=OP″，

∴△OP′P″是等边三角形。

∴P′P″=OP′=OP=8，

∴△PQR的周长最小值为8。

二、 巧妙结合于函数

变式1：结合于函数一次函数

定点A（1，2），B（3，4），在x轴上找点P，使PA+PB的值最小，并求P点的坐标。

解：点A（1，2）关于x轴的对称点A′（1，-2），

连接AB交x轴于点P，

则直线A′B解析式为y=3x-5。

令y=0，得x=53，∴P53，0。

变式2：与抛物线相结合

抛物线经过点A（-4，0），B（1，0），C（0，-3），应用对称轴进行坐标点确定，首先分析是否存在点G，根据分析结果进行求和运算或者理由陈述。

解：设抛物线y=a（x+4）（x-1），

抛物线过点C（0，-3），∴-4a=-3，

∴a=34，y=34x2+94x-3

对称轴：直线x=-32，点A，B关于直线x=-32对称。

连接AC，交直线x=-32于点G，

直线AC的解析式y=-34x-3。

当x=-32时，y=-158，∴G-32，-158。

三、 总结

在初中数学学习中，尤其在各地市的中考试题中，经常会遇到这类问题，由于问题解题难度较大，巧妙地转化迁移轴对称知识，就可以缩短题目解答时间。学生是学习的主体，让他们主动探究、掌握数学的方法，使数学学习更具实际应用意义。融合轴对称问题于其他数学知识点的过程中，能够促使数学问题逐一解决，有利于拓展学生想象空间，这对学生数学成绩提高有促进作用。

作者简介：

阮明燕，福建省莆田市，福建省莆田市仙游县湖宅中学。endprint