有心圆锥曲线一个性质的再推广

赣南师范大学数学与计算机科学学院(341000) 曾建国

文[1]证明了有心圆锥曲线的一个性质(图1).

命题1[1]设P是有心圆锥曲线上一点,PP′为曲线的直径,过P′点的切线与x轴交于点Q,过Q点任作一直线交曲线于P1,P2,直线PP1,PP2与x轴分别交于M1,M2,则OM1=OM2.

图1

文[2]将命题1中点Q推广至过P′点的切线上任一点(图2).

图2

命题2[2]设P是有心圆锥曲线上一点,PP′为曲线的直径,点Q为过P′点的切线上任一点,过Q点任作一直线交曲线于P1,P2,直线PP1,PP2与直线OQ分别交于M1,M2,则OM1=OM2.

本文从另一个角度推广命题1,得到了下面的结论(图3、图 4).

定理1设P是有心圆锥曲线上一点,弦PP′(或其延长线)与y轴交于点O′,过O′平行于x轴的直线与曲线在P′点的切线交于点Q,过Q点任作一直线交曲线于P1,P2,直线PP1,PP2与直线O′Q分别交于M1,M2,则OM1=OM2.

图3

图4

证明受篇幅所限,这里仅证明曲线为椭圆时的情形(当曲线为双曲线时,类似可证).

在定理1中,当O′为曲线的中心时,就得到命题1,因此,定理1是命题1的一种推广.

[1]杨波.有心圆锥曲线的一个性质及应用[J].数学通报,2005(3):33-34

[2]邹黎明.有心圆锥曲线的一个性质的推广[J].福建中学数学,2005(12):26-27