整体思想巧解方程

苏有焱

整体思想就是从整体上考虑题目中的数量关系及性质，突出对问题的整体结构的分析和改造，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

在学习《简易方程》这个单元时，如果能灵活运用整体思想，往往给我们带来意想不到的效果。

例1：已知a+b+b=18，a+b=14，a和b各是多少？

【分析】部分同学一看到题中有两个未知数便觉得无从下手。其实通过仔细观察、分析，可以看出把第二个条件“a+b=14”整体代入到第一个条件“a+b+b=18”中，则可消除一个未知数a，式子变为“14+b=18”，从而轻松求出b=4，a=10。在这个问题中，我们选择整体代换的方法，根据问题的条件，选择“a+b=14”，将它们看成一个整体，进行等量代换，达到减少计算量的目的。

例2： 3个连续自然数的和是66，那么这3个数分别是多少？

【分析】相邻的自然数之间相差“1”，学生习惯上会设第一个数为x，第二个数是x+1，第三个数是x+2，然后列出的方程为x+x+1+x+2。其实如果从整体考虑，以中间的数为基础设未知数，即设这三个数分别是x-1，x，x+1，则有x-1+x+x+1=66，整理得3x=66，进而解得x=22，可知这三个数分别为：21，22，23。整个解题过程，从整体出发、联想，以中间的数为基础设未知数，通过相消部分数字，使方程和计算都更为简单。

变式训练

3个连续奇数的和是69，那么这三个数分别是多少？

提示：设这三个数分别是x-2，x，x+2。

例3：小刚和小明两人一起去商店购买同样的光盘，小刚买了8张，小明买了12张，两人一共花了160元。每张光盘几元？

【分析】不少同学习惯利用“小刚买光盘花的钱+小刚买光盘花的钱=160元”的等量关系来列方程。其实，考虑到每张光盘价钱是一样的，可以先求购买数量，再利用“单价×数量=总价”的等量关系来列方程。即，设每张光盘元，则有（8+12）x=160，即20x=160，解得x=8。解决问题时，我们往往习惯于“化整为零”，但有时候若能仔细观察问题的特点和具体要求，从全局出发把握整体则会事半功倍。

例4：妈妈今年的年龄是小兰的3倍，她们今年一共44岁。小兰和妈妈今年分别是多少岁？

【分析】题中有两个未知量，并且是倍数关系，为了方便理解和计算，我们习惯上以小的量為基础设未知数，即设小兰今年岁，则妈妈今年岁。依据题意有x+33x=44，整理得4x=44，解得x=11，所以妈妈的年龄为11×3=33（岁）。

运用整体思想解题可以使我们不必纠缠于局部细节，而能拓宽思路和开阔眼界。其实，对数学而言，不仅仅是细节，看待问题需要将细节与整体相结合，利用化归与集成的思维去研究问题。它能够很好地让问题化繁为简，化难为易。

（答案在本期找）