高中数学中三角函数解题思路教学探析

陈艳

【内容摘要】三角函数是数学知识的一个特殊的领域，在高中数学知识的学习中，三角函数所占的比重是非常大的。三角函数也具有独特的解题思维，教师在三角函数解体的思路上要打开学生思维。另外，三角函数方面的知识也是非常错综复杂的，三角函数知识包括严谨的思维逻辑，复杂多变的函数公式和千变万化的函数图像。解答三角函数方面的问题要掌握正确的方式方法，需要掌握的不仅仅是解体方法，更重要的是要有解题的思维。下面就三角函数的概念、公式和思维方式浅谈自己的观点。

【关键词】三角函数 思维 解题方法

一、深刻理解概念

在解答三角函数的问题之前，应该先将书本上三角函数的概念吃透。课本上总结的函数概念都是数学家经过严谨的推敲得到的，非常具有理解价值。另一方面来讲，三角函数的概念也是函数的基本定义，正确解答高中三角函数的题目，深刻的理解概念就是重要前提。三角函数领域的概念也是相当多的，比如正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和其单调区间的确定等。如何熟练的掌握繁多的概念定义决定了是否能够正确解答三角函数的题目，在学习概念时要分析概念中的每一个字，每一句话，仔细推敲和反复练习题目进行巩固。

例如函数f（x）=A sin（Cx-π6）+1（A>0，C>0）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2，

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设α∈（0，π2），则f（α2）=2，求α的值

解析：本题考察三角函数的图形与性质，熟练掌握倍角公式及公式之间的运算，考察基本功，通过图形来判断各方面之间的关系，通过观察图像的对称轴来写出解析式可以很好的解析本题，以此来解答本题，切记不可混淆各个公式。

解：（1）因为函数f（x）的最大值是3，所以A+1=3，即A=2.

因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小周期值T=π，所以C=2.故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x-π6）+1.

（2）因为f（α2）=2sin（α-π6）+1=2，即sin（α-π6）=12，因为0<α<π2，所以-π6<α-π6<π3，所以α-π6=π6，故α=π3.

二、准确记住公式

高中数学三角函数领域中的公式可谓是最多的而且是最具有灵活性的，繁多的函数公式和变化多端的函数变换形式使得解答三角函数题目难上加难。在学习公式的时候，要掌握三角函数公式的规律，三角函数的公式都是具有很强的关联性的。例如正弦函数和余弦函数、正切函数之间的转换，三角函数的二倍角公式和万能公式的使用。这些都是有很强的关联的。在掌握公式的时候，可以自己创一个公式口诀来帮助记忆。另外，在利用三角函数公式进行解题时，要正确的运用公式，因为三角函数的大部分公式之间都是可以相互转换的，只要换一个思路就可以换一个函数公式进行解答。但是最好的解答方式是运用最简便的公式解出题目，可以适当的化繁为简，根据良好的解题思路运用适当的函数公式进行解答。

例如，已知角α的终边经过点（3，-4），则tanα2=（ ）。

分析：解答这类三角函数的题目时，要熟练的掌握三角函数的图像和公式之间的转换。利用任意角的三角函数的定义先求出tanα的值，然后再由三角函数

的二倍角公式可求出tanα2的值。因为题目中提出角a的终边上的点P（3，-4），所以可以知道α2是第二象限角或者是第四象限角。然后由任意角的三角函数的定义可得tanα=-43。然后利用三角函数的二倍角公式可以求出tanα2=-12或tanα2=2。因为α2是第二象限角或者是第四象限角，所以tanα2的值为负值，所以舍去结果tanα2=2。则tanα2=-12.所以此题的答案就解出来了。

三、培养学生的思维能力

三角函数知识的学习最重要的就上要具有抽象的思维能力和解题思路。三角函数领域的题目都是比较固定的形式，所以解答三角函数的题目不可以用“背题”的方法进行解答。三角函数对于学生的思维能力要求较高，因为三角函数在日常生活中的應用不是特别广泛，这就导致学生接触三角函数的案例的机会很少。所以，培养学生的抽象的思维能力和严谨的解题思维是解答三角函数问题的有效前提。

例如平面区域如下图所示，使目标函数z=x+a y（a>0），取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是多少（ ）。

在分析这道三角函数的题目时，要求学生掌握三角函数图像的特点，先对目标函数z=x+a y（a>0）进行变形，得到y=1ax+za.根据目标函数取得最大值的最优解有无穷多个可以得出1a=-23.则a的值为1a的倒数，即为32.所以此题的答案就是a=32.

结束语

三角函数的问题说简单也不简单，但是说难也不难。学生在解答三角函数之类的数学问题时要利用正确的方法，锻炼自己的数学思维和抽象思维，肯于勤下功夫去了解它，钻研它，那么一切的问题都会迎刃而解的。高中三角函数相对来说比较难，解答问题的阻力也会随着变大，但是，学生只要掌握合理的学习方法和培养正确的解题思路，三角函数就变成了一成不变的题目。无非就是公式的互相转换，函数图象的平移、翻转变化。教师在授课时也要把侧重点偏移到培养学生思维能力和解题思路上去，使三角函数问题不再成为学生的困扰。

【参考文献】

[1] 崔晓明编《高中数学学习方式探究》[M].山西师范大学出版社.2015（7）：13-17.

[2] 刘玉生著《三角函数公式之间的转换》[M].东方出版社.2015（15）：143-146.

[3] 张志《学习思维的培养》[M].人民教育出版社.2016（13）：213-214.

（作者单位：长春市养正高级中学）