运用待定系数，解决抛物线问题

陈朝建

[摘  要] 在中考中，与函数相关的题型是中考考查的重点内容，而在函数问题中，曲线（抛物线和双曲线）问题考查的次数尤为频繁. 应该如何解决这些问题呢？笔者认为，采用待定系数法是解决这类题型的首选方法.

[关键词] 待定系数;曲线;函数

待定系数法是解决曲线（抛物线和双曲线）问题的经典方法，通过将已知条件代入曲线方程，可以得到相关的方程，只要求出未知系數，曲线的表达式自然能够求出. 本文中的例题选用了近三年的中考真题及模拟题，以让学生更好地理解和掌握待定系数法.

试题呈现与思路点拨

试题  （2017年湖北武汉中考模拟题）在平面直角坐标系中，二次函数y=mx²-2mx+m-1（m>0）与x轴交于A，B两点，顶点为C，将抛物线在A，C，B之间的部分命名为图像E（不包含A，B两点）.

（1）计算二次函数的顶点坐标.

（2）当AB=6时，直线y=kx+b经过点C，且与图像E有两个交点，请求出k的范围.

（3）当m=1时，求线段AB上的整点个数;若图像E与线段AB围成的区域整点数为6个（包括边界），试着求m的取值范围.

反思  本题属于平面直角坐标系中的二次函数相关题型，对于问题（1），属于基础题型，通过将二次函数解析式配方，即可得到顶点坐标. 问题（2）属于两图形有交点，求未知数范围的问题，解题过程如下：根据题意可求出A，B的坐标，结合点C的坐标，可以分别求得直线AC和直线BC相对应的k值，再数形结合，即可求出k的范围. 问题（3）属于本题的升华，也是学生拉开分数的一问，应采用待定系数法求解. 问题（3）的前半部分很简单，令y=0，解方程便可求得A，B两点的坐标，于是可轻易求出满足条件的整点个数;通过前半部分的引入，后半部分很容易解决——首先令y=0，求得A，B两点的坐标（用含有m的代数式表示），然后根据整点的个数，列出关于m的不等式，解不等式即可.

巩固延伸

反思  本题属于待定系数法与平面几何相结合的综合题，求解过程都是从平面坐标入手，实现几何元素的参数化，结合几何性质，利用代数分析求解收尾. 解决此类问题时，要善于运用待定系数法，并数形结合，以形助数.

总结提高

2. 初中数学中的曲线问题属于重点内容，运用待定系数法解决曲线问题可以起到事半功倍的效果. 虽然曲线问题的解法多种多样，但待定系数法是最基本的方法. 万丈高楼平地起，只有掌握基本的解题方法，才能探索更多的技巧性知识. 许多学生对一些基本的问题不屑一顾，认为这些问题非常简单，但这属于明显的眼高手低，只有真正去做，通过不断的练习，才能从根本上掌握这些知识.

3. 对于一些函数问题，往往需要结合函数图像才能更好地解决. 本文中的拓展题就用到了数形结合思想——通过题目所给的条件，可精准地画出函数图像，结合函数图像可以将抽象的问题具体化. 从函数图像中可以明显地发现对称性，而拓展题的关键就在于此. 数形结合是初中数学中的基本方法，学生在平时的学习中应加以重视，要学会从几何的角度去思考代数问题，做到数形结合，以形助数.