利用等式性质进行对比教学

罗秋锋

◆习题内容

人教版小学数学五年级上册第五单元“简易方程”之“解方程”第一课时“作业本”P45第2大題.

◆典型习题呈现

54-x=24

解：54-x+x=24+x

54=24+x

54-24=24-24+x

30=x？

126÷x=42

解：126÷x÷126=42÷126

x=0.3×

习题特点与分析

这道题安排在解简易方程的第1课时后的课堂作业本中.这一课时前学习了方程的平衡原理，同时根据等式性质——方程左右两边同时加上（或减去）一个相同的数，等式依然成立.“作业本”安排这道题的目的是让学生进一步巩固等式的性质，为用等式性质解方程作巩固训练.但A-x=B，A÷x=B用等式性质解方程，学生很难完成.具体分析如下：

1.教材层面：这道题出自解简易方程的第一课时，是在学习等式的性质基础上学习的.学生通过学习应该知道什么叫方程，什么叫方程的解，也能顺利解决类似x+a=b之类的方程.教材对A-x=B和A÷x=B这类题有教学要求，但在第2课时，课堂作业中出现得太早了.在没有建立方程模型之前，难度确实比较大.

2.教师层面：教师课前没有估计到学生对于A-x=B，A÷x=B这类方程解的困难程度，也忽略了提前试做课堂作业本，或者教师本身对此类方程的教学缺乏经验，难定解决策略，缺乏对生情和文本内容的了解，因此，课堂上没有穿插这方面知识的引导，导致出错.

3.学生层面：其实学生头脑中已经有这部分知识的储备，但是无法形成知识链.在方程教学的研究中，笔者曾做过前测研究，类似A-x=B，A÷x=B的题目把x换成方框，那么学生却能轻易解决.

◆教学描述

今天，我重点要交流的就是“关于用等式性质解方程的几个问题”，通过此课例研究能对用等式性质解方程的教学内容的研究走向深刻.

大家都知道，新教材的“解方程”编排与旧教材的编排有较大的不同：以前解方程，其基本依据是加与减、乘与除之间的逆运算关系，而现在新课标指导下的解方程，却要求学生在解方程的过程中，探索、理解等式的基本性质，再应用等式的基本性质解方程.

新教材利用“天平”为处理方程提供了一个强有力的智力图像：方程类似于一组天平，方程中的符号表示处于平衡状态，用天平平衡的道理，形象直观地帮助学生深化对“相等关系”的理解，让学生明白：在等式的两边同时进行相同的运算，那么平衡就得到了维持——这一等式的基本性质，然后利用等式的基本性质解方程.

新旧两种解方程的方法到底要用哪种进行教学呢？一些教师觉得新方法麻烦，不好用，于是还是用旧方法“解方程”.有些教师却用新方法进行教学，旧方法只做介绍.当时大家觉得两种方法都可以，只要能达到解方程的目的就行了，但是总体感觉用旧方法的教师更多些.

但是《数学课程标准》在小学阶段关于这一方面的唯一要求：“理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程（如，3x+2=5，2x-x=3）”.这句话是否可以这么理解：如果不会用等式的性质解简单的方程，是否说明你没完成这阶段的教学目标呢？

因此，我把解方程的两个课时进行了有机整合，进行了这样的对比教学：

1.出示例1：x+3=9.学生很快利用前一节课的等式性质得出x+3-3=9-3解决了问题.按照教材编排，第1课时只需要掌握较简单的方程，但对学生建立方程模型比较欠缺，因此，我紧接着出示：9-x=3.这时，学生很快知道方程的解是x=6，为什么？

学生尝试用等式性质9-x-9=3-9，但马上发现不对（这是前一题利用等式性质后的负迁移）.接着改为：

9-x+x=3+x

9=3+x（一般未知数不在右边，怎么办？）

3+x=9利用等式平衡关系进行左右调整，学生明白了方向.

2.出示3x=18和18÷x=3，学生按刚才的方法进行独立分析和解方程.比第一组对比教学时快捷了许多.

【设计意图】通过x+3=9，9-x=3和3x=18，18÷x=3两组方程进行对比教学，有助于学生建立方程的各种模型.

◆实践反思

新教材强调“用等式性质解方程”，原因是在中学学习解方程用的是代数的方法，而以前根据四则运算的互逆关系解方程，属于算术领域的思考方法，而用等式性质解方程，属于代数领域的解方程.两者有联系，但后者是前者的发展与提高.这样，在解方程的教学中，学生将逐步接受并运用代数的方法思考、解决问题，使思维水平得到提高.所以，《数学课程标准》里明确规定：在小学里学习解方程也是利用等式的性质，这样中学学习不再是另起炉灶，加强了与中学数学的衔接.

但这时另一个问题却出现了，用“等式的基本性质”解54-x=24和126÷x=42这类型的方程难度较大.

我也曾经做过这样的教学实践：班级1采用等式性质教学，学生错误率高达80%以上；我马上调整教学方法，在班级2中，我采用原来旧的传统的四则运算数量关系教学，在解决这两道方程时效果显然很好.可是到后来，班级2的大部分学生不愿意用等式性质解方程了，好像又违背了新教材的意图.于是我进一步展开此课例的研究和学习，查找资料，虚心请教，终于找到了解决形如a-x=b和a÷x=b的方程与等式性质之间沟通的桥梁：除等式4个性质外，还有对称性（相等关系“=”还有以下更基本的性质：如果a=b那么b=a这条性质叫作相等关系的对称性.我们有时把8=A改写成A=8，就是利用了相等关系的对称性）；传递性（如果a=b并且b=c那么a=c这条性质叫作相等关系的传递性）.新教材并没有系统的出现过解方程所需要的等式的六个性质.就更谈不上学生对于这六个等式性质的理解了.这些知识点如果不让学生系统感知学习，那么小学利用等式性质解方程就不可能很好实现.endprint