“代数运算”概念的理解

冯玉明

【摘要】本文通过尝试用简洁的语言为初学“抽象代数”的学者讲解“代数运算”的概念，通过三个例子解释了“代数运算”的定义以及与“四则运算”的关系.

【关键词】代数运算；二元运算；概念

一、引言

“抽象代数”课程中的“代数运算”的定义看起来比较简单，但是对于初学者来说，不太容易理解，本文尝试用比较浅显的例子来对这个概念加深理解.

二、“代数运算”的定义

本文中的A，B，D指的是三个集合.

定义1[1]一个A×B到D的映射叫作一个A×B到D的代数运算.

从定义知道，一个“代数运算”就是一个特殊的映射.我们先看下面的例子.

例子1A×B={（1，2），（3，4）}，D={3，7}，定义映射f：A×B→D为

（1，2）→3，（3，4）→7，

也就是f（1，2）=3，f（3，4）=7.

那么，很显然，这样定义的映射f是一个从A×B到D的代数运算.

例子2A，B，D的定义和例子1中一样，定义映射+：A×B→D为

+（1，2）=3，+（3，4）=7.

对照例子1，这种写法是合理的，这其实就是我们熟知的映射的写法.

其实，由于“代数运算”是一种特殊的映射，我们习惯用特殊的符号来描写它，例子2中的符号就比较特殊，其实，就是我们的普通加法，一般我们习惯写为1+2=3，而不是+（1，2）=3.

通过上面的分析，我们可以知道普通的加法、减法、乘法、除法其实都是一种特殊的映射——“代数运算”，我们通常说的“四则运算”就来源于此.

再看下面这个比较抽象的例子.

例子3A，B，D是三个集合，定义：A×B→D为

（a，b）→d，

也就是d=（a，b）.

上面说过（a，b）只是一种符号，表示元素（a，b）在映射 下的象.以后，我们都习惯性写作a b，而不再写为（a，b）.

三、“二元运算”的定义

定义2假如 是集合A×A到A的代数运算，我们就說 是集合A的二元运算，也说集合A对于代数运算 来说是闭的.

通过上面的定义我们知道，“二元运算”是特殊的“代数运算”，也是特殊的映射.我们通常说的，实数上的加法是闭的，就是指加法是R上的“二元运算”，也就是加法是R×R到R上的一个映射.

通过以上分析，现在我们可以说，实数集上的加减乘数“四则运算”是实数集上的“二元运算”，也明白了“实数集对于四则运算来说是闭的”的含义.

四、结语

本文通过举例，详细分析了“代数运算”“二元运算”的含义，希望能为初学“抽象代数”的学者贡献一分力量.

【参考文献】

[1]张禾瑞.近世代数（修订本）[M].北京：高等教育出版社，1978.endprint