对立、反证与分析法的辩证统一及其应用

吉冬林

对立事件——非此即彼反映事物的两个方面，这个概念为我们辩证地思考数学问题提供了依据，高中数学进一步地引入“补集”：在给定的数学条件或范围U约束下，若x∈A，则其对立事件x∈UA不成立，反之若x∈UA不成立，则必有x∈A成立，简单地说，对立的两个方面必有一个成立，这就是反证法的基本思路.

一、反证法的思维剖析

反证法渗透在数学推理与证明的各个部分，我们通过一些简单的例题剖析其思维的特点.

尽可能地简化数学的语言描述，将复杂问题简单化，是数学学习的基本要求，数学是科学语言，这是课程改革的重要指向.

三、反证法与分析法的辩证统一

反思上述例3，其思路完全可以重新整理为我们习惯上的直接证明，由此，“反证法”从本质上说并不独立于数学的其他证明方法之外，而只是分析与探究问题解决的一种途径，或者说是一种思想方法.事实上，对已知结果加以证明并不是数学学习的根本目的，对问题的条件加以分析、猜测，由此推断并验证可能的结果才是数学的能力所在.反证法思想的延伸是“分析法”.

分析法假设结论或猜测成立，由此通过结论的等价变形或者相关推证寻求其成立或不成立的依据，与反证法在推理本质上的相似性需要我们通过解题实践对比体会，数学知识与方法体系的形成是一个不断感悟与提升的过程.

此外，与“对立”相关的另一类问题是“存在”与“不存在”，具体地说是“存在性命题”与“全称命题”的转化，这类问题常常与恒成立不等式中的参数范围结合，是高考中考查数学转换能力的常见题型.

数学方法的选择与应用是一个有机结合的系统，反证法、分析法基于“对立”的基本概念，相互渗透相互补充;對数学问题描述的不同理解以及知识的熟练程度都会影响对数学方法的选择，高三学习的主要任务是优化思维，对比、感悟是提高数学能力的重要途径.