算两次思想在高考解题中的应用

雷亚庆

波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来.”也就是将一个量“算两次”，从而建立相等关系，这就是算两次原理，又称福比尼原理.利用向量数量积推导两角差的余弦公式就是算两次思想的经典应用.它的本质实际就是从研究对象的不同表征去探索和发现，算两次思想在数学解题特别是高考解题中能发挥非常重要的作用，下举几例加以说明.

例1 （2018江苏高考第13题）.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为    .

分析：这是双变量最值问题，解决问题的关键是从已知条件中探寻a，b的等量关系，这时候面积算两次就要大显身手了.

“算两次”作为一种重要的数学解题方法，蕴涵着换一个角度看问题的转换思想.其实质是将同一个量从两个不同的角度計算两次，利用“殊途同归”获得的等量关系达到“出奇制胜”的目的.单墫教授编著的《算两次》中，将算两次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”，如果一个数学研究对象具有“双重身份”或“两面性”，也就是说既满足条件A又满足条件B，就可以考虑使用这种方法.