探构造之策 寻问题之解

潘龙生

函数作为基本的数学工具，在解决数学问题中有着广泛的应用，合理地构造函数，往往能够找到巧妙的解法，但是由于函数构造思维难度较大，不少同学对此无从下手，因此它又成为高中数学问题解决的一个难点.本文拟以实例从不同角度探究构造函数的策略，以期能对同学们以后的问题解决起到引导作用，供参考.

一、类比结构特征，整体构造函数

点评：单调性、奇偶性等性质是函数的重要特征，在研究的问题中如果有这些性质的呈现或变形显现，则可以利用问题特性，整体构造函数.

二、直接移项合并，构造单一函数

分析：解决两个函数的交点问题远不如研究一个单一函数简单，而函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点等价于合并为单一函数后图象与x轴有三个零点，因此想到合并构造为单一函数.

点评：当研究问题中含有多类函数时，直接解决就比较复杂，突破这个难点的首选之策就是转化为单一函数，而直接移项合并则是实现这种构造的常见策略.

三、结构变形整合，构造双新函数

点评：若函数结构类型多样，且难以转化为同一函数，则可以考虑归类整合，将原问题构造为两个新函数去研究，通过两个新函数的研究凸显原问题的本质.

四、分离变量构造，转为无参函数

点评：参变共存，变量分离是研究含参问题的一种重要手段，通过分离变量构造，可以转为无参函数，这种方法很大程度上避免了繁复的参变量讨论，同时也簡化了运算，解题过程轻松简洁.

五、结合求导法则，转抽象为特型

点评：抽象函数是函数考题中的一个常见面孔，它没有具体表达式，对同学们来说是个难点，但这类问题出现时，往往又不是孤立的，导数的求导法则时常忽隐忽现，形影相随，因此在求解这类问题时，应主动联想与问题结构和形式相对应的求导法则，并通过对原结构适当变形使之适用于法则的形式，以实现问题的求解.

六、主元引元构造，换背景去类比

点评：对于多元问题，可以将其中一个元视为主元或整体思考引进新元，并构造主元或新元为变量的函数，以新元的约束条件视为函数的定义域，其他元视为常数，从而通过改换原问题的背景而类比构造相应的函数解决.

七、两侧同取对数，同元组合构造

点评：若求解问题中某些项的底数和幂指数都含变量，直接构造函数进行处理显然是困难的，因为其求导过程举步维艰，此时，可以考虑采用同取自然对数的方法先转化为对数式，再进行同元组合变形，构造为平时学习中熟悉的、经典的如y=lnx、y=lnx/x等函数.