深度体验：指向初中数学深度学习的有效策略探究

孙雅琴

[摘  要] 新版初中数学课程标准中提出的“基本活动经验”需要学生的深度体验和深度感悟，而在初中数学教学中合理设置体验项目，给予学生深度体验，是达到学生深度学习的有效策略.

[关键词] 深度学习;深度体验;策略

学习，是指通过阅读、听讲、思考、研究、实践等途径获得知识或技能的过程. 一般地，我们把学习分为简单学习和深度学习. 简单学习是除机械记忆外不需要付出太多努力的学习. 深度学习是指新内容或技能的获得必须经过一步以上的学习和较高水平的分析或加工，以便学生可以以改变思想、控制力或行为的方式来应用这些内容或技能.

简单学习，学生是知识的消费者;深度学习，学生是知识的创新者. 深度学习是学习内容、学习方式、学习工具走向多元化的一种学习，因此，深度学习已经成为新时代学生学习的一种必然. 那如何开展初中数学的深度学习呢？笔者以为，需要借助深度体验.

刘惊铎所著的《道德体验论》是这样定义“体验”的，其是人类的基本生存方式之一，是一种图景思维活动. 深度体验是身体与心灵相结合的体验，其最大的特点是，深度体验到的东西会在大脑记忆中留下深刻的印象，且随时可以回想起来. 新版初中数学课程标准中提出了“四基”，即基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，其中的“基本活动经验”无法通过听或看就学会，需要学生的深度体验和深度感悟. 所以，在初中数学教学中，合理设置体验项目，给予学生深度体验，是达到学生深度学习的有效策略. 基于初中生的年龄特征和数学的学科特征，笔者把深度体验根据体验目的分为探索型和验证型两种，下面结合案例说明基于这两种类型的深度学习的实践与探索.

开展探索型体验，深度建构知识

探索是指多方寻求答案，解决疑问. 数学学习中的探索型体验是指，在不知道结论的情况下，通过对设定项目的探索，发现和归纳出数学结论的体验. 探索型体验项目，一般从一个学生感兴趣的、具有探索性的问题开始，体验的过程受未知结果的吸引，学生的兴趣和积极性会比较高，这样有利于激发学生积极主动地进行深度体验. 探索型体验项目一般安排在概念、定理等新知识的学习之前，其能为发现和建构概念、定理做铺垫，最终完成新知识的建构. 其特点是学生的参与热情高，生成度也高，其一般结构如图1.

案例1  主题：探索同底数幂的乘法公式.

目的：通过比赛，探索同底数幂的乘法公式，经历操作、观察、思考、交流等，学会从特殊到一般进行归纳.

准备：教师根据班级小组数准备信封，每个信封中装着如图2所示的A，B，C三种卡片中的一种.

过程：（1）每个小组抽一个信封，快速完成卡片上的问题，并贴到黑板指定区域，最后根据完成情况给小组加分;（2）尝试计算a^m·aⁿ（m，n是正整数）.

这里笔者设计了一个从具体到抽象的问题情境，旨在引导学生根据几组具体同底数幂的乘法运算，类比、猜想出底数为a的同底数幂的乘法運算方法. 学生从特殊到一般归纳出了同底数幂的乘法公式为a^m·aⁿ=a ^m+n（m，n为正整数），简单轻松地完成了新知的建构. 笔者所设计的这种体验方式（即比赛），可以让枯燥的数学计算变得灵动与快乐，能让学生对生成的知识印象深刻.

案例2  主题：探索乘法公式（完全平方公式）.

目的：通过拼图活动，探索整式的乘法公式（完全平方公式），经历操作、观察、思考、交流等，体会数形结合思想方法，提升总结、归纳的能力.

准备：（如图3）分小组进行，每组准备①类卡片1张（边长为a的正方形）、②类卡片1张（边长为b的正方形），③类卡片2张（邻边长为a，b的长方形）.

过程：（1）用这四张卡片拼成一个大正方形;（2）用两种方法计算这个大正方形的面积;（3）小组交流由（2）可以得到怎样的等式.

对于这个体验活动，学生借助纸片，很快就拼出了图形，也能比较快地用两种不同的方法表示这个图形的面积. 运用整体法，这个图可看成一个大正方形，边长是（a+b），所以它的面积可以表示为（a+b）²;运用拼接法把这个图形看成是由4个图形拼成的，所以它的面积又可以表示为（a²+2ab+b²）. 这两种方法表示的是同一个图形的面积，所以有（a+b）²=a²+2ab+b²，这就是完全平方公式. 初一的学生对拼图很感兴趣，且在拼拼算算中，他们建构了新的知识——完全平方公式. 基于这样的深度体验，学生能很好地掌握完全平方公式.

案例3  主题：探索规律.

目的：通过游戏，探索用字母表示变化规律，经历操作、观察、思考、交流等，体会数形结合思想方法，提升总结、归纳能力.

准备：分小组进行，每组准备一盒火柴棒.

过程：（1）按图4的方式，用火柴棒搭三角形;（2）搭1个三角形需要火柴棒_________根，搭2个三角形需要火柴棒_________根，搭3个三角形需要火柴棒_________根，搭10个三角形需要火柴棒_________根，搭200个三角形需要火柴棒_________根;（3）你能归纳出火柴棒根数与三角形个数之间的关系吗？

游戏是载体，思维活动是过程. 此过程先让学生动手搭一搭，在搭的过程中产生兴趣，但要搭100个三角形，火柴棒不够，此时学生便会产生一种需求，即想用简单方法来解决问题，也就是此时需要探索规律——设三角形的个数为n，则火柴棒的根数为（2n+1）. 用字母表示问题中的数量关系或变化规律，能使复杂的数学问题简单化. 在这个探索型体验过程中，学生经历了从特殊到一般的探究过程，这个数学结论是学生自己发现和归纳的，能很好地深化学生对数学知识的理解.

在探索型体验中，教师是倾听者和提问者，学生是真正的主体. 因此，探索型体验应当成为当前初中数学教学的主流. 它的重要意义在于，能让学生在各种认识水平上得到收获，能让学生探索、发现、再认识具有不同层次的数学知识，在探究过程中不断完善和扩充体验，同时激发学生发现规律特征的欲望，真正地通过“探索发现”达到“建构”数学知识的目的，实现深度学习.

开展验证型体验，深度运用知识

数学学习中的验证型体验是指，在已知数学结论的情况下， 通过对设定项目进行研究，验证这个结论（猜想）是否正确而进行的一种体验. 验证型体验一般用于验证所给结论或猜想. 验证型体验一般在学完概念、定理或者有猜想之后，对概念、定理、猜想进行分析与讨论，要求学生在深度理解知识的基础上运用知识. 其特点是目标明确，操作性强，其一般结构如图5.

案例4  主题：验证圆的轴对称性.

目的：通过折纸验证圆的轴对称性.

准备：分组进行，每组准备一张圆形纸片、量角器、刻度尺.

过程：（1）对折如图6所示的圆形纸片，折痕是圆的直径吗？你能通过折纸找到这个圆的圆心吗？（2）按图7所示折叠圆形纸片，观察两条折痕，你有什么发现？

第（1）问通过这个体验项目，学生很容易根据轴对称的定义，结合图形的重合，得出结论——只要折叠两次就可以得到两条直径的交点，交点就是圆心. 有了第（1）问的基础，对于第（2）问，学生通过观察、测量、归纳，便可得出两条折痕的关系. 动手是感性认识的开端，观察是思维的入口，这个验证型体验的特点是：直观，思维起点低，操作相对简单，不过体验效果非常好.

案例5  主题：验证一元二次方程的配方法.

目的： 借助图形的分割，验证解一元二次方程的配方法，运用几何直观促进学生运用数形结合思想的能力.

准备：分组进行，每组准备1个长为（x+4）、宽为x、面积为21的长方形纸片（如图8的第一张图）和1个边长为2的正方形纸片.

过程：（1）写出长为（x+4）、宽为x、面积为21的长方形的面积关系式（用一个方程表示）;（2）把这个长方形分成一个边长为x的正方形和两个长为x、宽为2的长方形;（3）把1个边长为x的正方形，2个长为x、宽为2的长方形和1個边长为2的正方形拼成一个大正方形;（4）请根据这个大正方形的面积关系求出x的值.

这里，对于一元二次方程x（x+4）=21，我们把它看作长为（x+4）、宽为x、面积为21的长方形. 接着，先将长方形分割成1个边长为x的正方形，2个长为x、宽为2的长方形，然后把1个边长为x的正方形，2个长为x、宽为2的长方形和1个边长为2的正方形拼成一个大正方形，此时大正方形的边长为（x+2），面积为25. 于是可以得到等式（x+2）²=25. 究其本质，图形的变化就是配方的过程. 这样的深度体验，能让学生通过图形的系列变形，在操作中经历观察、探究，解释并验证配方法解一元二次方程，能让学生充分认识配方法解一元二次方程的合理性，还能让学生感受到数与形的联系. 这样的深度体验，必将促进学生数学思维品质的提升，从而实现学生深度学习.

验证型体验既可以促进学生在解决问题中认知能力的提升，又可以提升学生思维的严密性，还可以让学生感悟数学问题的本质，通过验证发现一些隐性的规律或性质.

初中数学教学中设置的深度体验一般是学生通过动手动脑，以“做”为支架，在教师的引导下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的思维活动. 我们设置的初中数学深度体验，是关于数学知识产生、发展和应用的体验，所以，深度体验必将促进学生数学认知水平和数学思维的发展，也必将提升学生的学习深度与广度.