看似匠心 实则矛盾

刘稳殿+韩占中

摘 要：通过对2017年9月百校联盟数学（文）的一道三角函数求值题进行研究探讨，发现本题当中所给的两个条件互相矛盾，如果已知tanB=ktanA（k≠0），那么cosAsinB的值必须受到k的限制，否则题中的条件就会相互矛盾，导致本题无意义。

关键词：问题题目；tanB=ktanA（k≠0）；cosAsinB的值；限制；矛盾

试卷讲评是高三复习的一种重要课型，在讲解试卷的时候，认真分析每个题，思考多种解法，进行简单变形，思考考查的知识点与方法，思考出题的意图与出题方法……是教师备试卷讲评课的基本内容。在高三频繁的考试中难免遇到“问题题目”，如果对“问题题目”加以剖析，进行加工，那么“问题题目”所呈现出的意义远大于题目本身的意义。下面探讨2017年9月百校联盟数学（文）选择题第7题。

原题：已知tanB=2tanA，且cosAsinB=45，则cos（A-B-3π2）=（ ）

A. -45

B. 45

C. -25

D. 25

给出的参考答案如下：

依题意，sinBcosB=2sinAcosA，故sinBcosA=2sinAcosB，故sinAcosB=25，则

cos（A-B-3π2）=-sin（A-B）=-sinAcosB+cosAsinB=25，

故，选D。

单独看本题的解题思路是毫无破绽的，但是仔细推敲会发现：

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=25+45=65>1与-1≤sin（A+B）≤1矛盾。

问题出在哪？

假设1：设tanB=ktanA（k>0）且cosAsinB=a，则k与a有什么关系呢？

由tanB=ktanA（k>0）得到：sinBcosA=ksinAcosB，故sinAcosB=ak，从而有：

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=a+ak=a（k+1）k （1）

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=ak-a=a（1-k）k （2）

要使（1）（2）两式同时有意义，则必须满足：

-1≤sin（A+B）≤1

-1≤sin（A-B）≤1即-1≤a（k+1）k≤1

-1≤a（1-k）k≤1

当k=1时，得-12≤a≤12

当k≠1时，得：|a|≤kk+1

|a|≤|k1-k|

又因为kk+1<|k1-k|，所以|a|≤kk+1

本題中k=2>0，那么a应该满足|a|≤kk+1，即|a|≤23，即a∈[-23，23]，而题中给的a=45，显然45[-23，23]，故本题中给的两个条件是矛盾的，即条件不能成立。

假设2：设tanB=ktanA（k<0）且cosAsinB=a，则k与a有什么关系呢？

与假设1同理有：

-1≤sin（A+B）≤1

-1≤sin（A-B）≤1即-1≤a（k+1）k≤1

-1≤a（1-k）k≤1

当k=-1时，得-12≤a≤12，

当k≠-1时，得：|a|≤|kk+1|

|a|≤kk-1

又因为|kk+1|>kk-1，所以|a|≤kk-1

结论：设tanB=ktanA（k≠0）且cosAsinB=a，则k与a有如下关系：

当k=±1时，-12≤a≤12；当k>0且k≠1时，|a|≤kk+1；当k<0且k≠-1时，|a|≤kk-1。

通过对该问题的分析，我们不仅得出了k与a的关系，而且体现了分类讨论思想，除考查三角函数相关知识外，还考查了不等式解法。我们在讲解及编写习题的时候，要深入分析条件之间的隐含关系，避免题目当中所给条件互相矛盾。

作者简介：

刘稳殿，韩占中，陕西省安康市，白河高级中学。endprint