数列通项公式的基本原理探析

摘 要：我们知道，等差数列与等比数列是高中数列研究的主线，除了这两种基本数列外，其他类型的数列求通项公式的方法也为大家所熟知，我们惊讶于这些方法的巧妙，却不得不需要花费大量时间来记忆、练习、掌握，因为我们很少深究怎么来的，为什么要这样变形、整理，故本文试图为读者厘清其中的基本原理。

关键词：数列；通项公式；基本原理

一、 基本原理探析

首先，我們观察等差数列定义式：an+1-an=d（n∈N+，d为常数）和等比数列定义式：an+1an=q（n∈N+，q为非零常数），从定义式中把握住它们的特征一个等差，一个等比。从这两个最基本的递推关系中，不难发现，等差数列是“加减关系”，an+1，an之间存在一个差值，这个差值d可以推广至f（n），只要f（n）可求前n项和；等比数列是“乘除关系”，an+1，an之间存在一个比值q，这个比值可以推广至g（n），只要g（n）可求前n项积。由此，这两种基本数列形式便包含了“加、减、乘、除”四则运算，若注意到递推关系中an+1-an=f（n），f（n）它们的系数与次数，就为我们研究未知数列的通项或求和寻找到了一条思路，就是高中阶段几乎所有的递推数列都可以朝着等差或等比数列的形式进行转化（比如降次，取对数，构造新数列等），其本质是构造，而后再按照熟悉的模型进行处理。

二、 举例说明

下面我们重点探究几种常见的基本方法的处理依据。

类型一 待定系数法：将递推公式an+1=qan+d（q，d为常数，q≠0，d≠0）构造成（an+1+x）=q（an+x）的方法。其实质是观察递推式an+1=qan+d中an+1，an系数不一致，存在一个倍数{an}，继而引导我们朝着等比数列构造，得a1=1的数列形式。

例1 已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1（n≥2），求{an}的通项公式。

解：利用（an+x）=2（an-1+x），求得an+1=2（an-1+1）。

∴{an+1}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，即an+1=2n，∴an=2n-1。

类型二 倒数变换法：将递推数列an+1=canan+d（c≠0，d≠0），取倒数变成1an+1=dc1an+1c的形式的方法。其实质是注意到递推式两侧的结构不一致，对于数列而言，我们最希望的是找到它们的结构一致性，第一步右边为分式结构，左侧为整式，要统一结构就只能同时取倒数（分式倒数还是分式，整式倒数为分式）得到{an}的形式，此时将数列（n∈N*）看成一个新的数列，即再利用“待定系数法”来求解。

例2 已知数列{an}（n∈N*）中，a1=1，an+1=an2an+1，求数列{an}的通项公式。

解：将an+1=an2an+1取倒数得：1an+1=2+1an。

∵1an+1-1an=2，∴1an是以1a1=1为首项，公差为2的等差数列。

则1an=1+2（n-1），∴an=12n-1。

类型三 取对数法：形如an+1=parn（p>0，an>0）等式两边取对数的方法。

这种类型数列的实质是注意到an+1，an的次数不一致，要将次数调整成一样就只能对等式两边取对数，转化为an，此时将数列a1=1，an+1=1a·a2n看成一个新的数列再利用待定系数法求解即可。

例3 已知数列{an}中，a1=1，an+1=1a·a2n（a>0），求数列{an}的通项公式。

解：由an+1=1a·a2n两边取对数得lgan+1=2lgan+lg1a。

令bn=lgan，则bn+1=2bn+lg1a，再利用构造新数列（待定系数法），

解得：an=a1a2n-1。

本文些许举例探析，只为说明数列求通项时体现出来的技巧性，其实是有章可循的，是有内在必然的逻辑性的。掌握了推理的基本原理，我们的应用便能得心应手了。

作者简介：

李兴波，四川省绵阳市，绵阳南山中学实验学校。endprint