一种基于高阶梯度理论的微构件力学尺度效应模型*

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(广东工贸职业技术学院机械工程系，广东广州 510510)

一种基于高阶梯度理论的微构件力学尺度效应模型*

原波，丘永亮，何显运，徐勇军

(广东工贸职业技术学院机械工程系，广东广州 510510)

实验发现微构件的力学性能存在尺度效应，传统力学模型无法解释这一现象。该论文基于高阶应变梯度理论构建了一种针对微构件在三点弯曲实验中的弹性性能的尺度效应模型，该模型包含一个与材料自身相关的一个参数，可以解释微构件在实验过程中弹性力学性能的尺度效应。通过对比该理论模型与已有模型之间的关系，分析了模型的适用性。

微构件，尺度效应，高阶梯度理论

1 引言

许多针对微构件的力学实验证实，其力学性能会随着其特征尺寸的减小而发生显著变化[1]。由于经典力学中不存在材料尺度参量，因此无法解释微构件力学性能的尺度效应，在经典力学的基础上进一步发展包含材料尺度参量的高阶应变梯度理论，有望为微构件的力学研究提供新思路。有研究指出，微构件的尺度效应可能是由材料内部的非局部效应导致。该方面的开创性工作可以追溯到由Toupin 和 Mindlin 等人建立的非局部应变梯度理论模型[2]，Fleck 和 Hutchinson等人对该模型做了进一步完善，简化了模型尺度参数[3]。Yang 等人进一步简化了Fleck 和 Hutchinson 的理论模型，并建立了各向同性介质材料的应变梯度线弹性力学模型[4]。Lam 等人又提出了针对环氧树脂悬臂梁弯曲变形的高阶应变弹性理论模型[5]。本论文利用最小势能原理，基于Toupin 和 Mindlin的高阶应变梯度理论(High order strain gradient，HSGE)构建了一种新的非局部理论模型，该模型包含一个与材料自身相关的一个参数，可以解释微构件在实验过程中弹性力学性能的尺度效应。

2 理论模型

+b1φiijjφkkll+b2φijkkφijll+b3φiijkφjkll+b4φiijkφllkj+b5φiijkφlljk+b6φijklφijkl+b7φijklφjkli

+c1εiiφjjkk+c2εijφijkk+c3εijφkkjj+b0φiijj

(1)

其中：λ和μ为拉梅常数，an，bn和cn(n=1，2，3，…)为 HSGE 模型中的常数，详见Toupin和 Mindlin的模型[2，6-7]。εij、ηijk和φijkl(i，j，k，l=x，y，z)分别表示一阶、二阶和三阶变形梯度的分量。

在载荷q(x)的作用下，图1所示的微结构纤维的位移分量可以表示为：

u≈-z∂w(x)/∂x，v=0，w=w(x)

(2)

其中：u、v和w分别表示位移矢量u在x、y和z方向的分量。可以计算出变形梯度一阶、二阶和三阶分量中非零项为：

图1 微结构纤维在外载荷作用下的弯曲示意图Fig.1 Schematic for general bending test ofmicrofiber under external force

(3)

将式(3)代入式(1)中，对整个微结构纤维进行体积积分，可以得到应变能U的表达式为：

(4)

引入如下的关系式(5)：

(5)

其中E和v分别表示微结构材料的杨氏模量及泊松比，式(4)可以表示为：

(6)

其中I和A分别为材料的惯性矩和横截面积。

如图1所示，外载荷的外力功可以表示为：

(7)

受力微结构纤维的总势能可以表示为：

∏ =U-W

(8)

根据最小势能原理δ∏=0，通过变分计算可以得到如下的平衡方程：

(9)

研究如图2所示的两端固支微结构受力模型，对于直径为D，长度为L的杆状纤维结构，在中部集中载荷 的作用下，利用边界条件，可以得到式(9)的解为：

图2 两端固支单根微结构在集中载荷作用下的弯曲示意图Fig.2 Coordinate system for a single-strandmicro-structure loaded in three-point bendingby external force

(10)

从表达式(10)中可以看出，纤维位移量的计算结果与材料参数an(n=1，2，3，4)有关，如果忽略材料内部非均匀效应的影响，则材料参数均为零，表达式回归为：

(11)

式(11)即为经典力学体系中欧拉-伯努利梁在三点弯曲变形条件下的理论解。材料的最大变形量发生在中部，即x=L/2处。忽略泊松效应，则材料的最大变形量表示为：

(12)

(13)

(14)

3 总结

为了解释微结构在三点弯曲变形中所存在的尺度效应，基于HSGE理论建立了一种尺度效应模型。通过该模型可以计算出材料在弯曲变形中的尺度效应。

[1] Lim C T，Tan E P S，Ng S Y. Effects of crystalline morphology on the tensile properties of electrospun polymer nanofibers[J]. Applied Physics Letters. 2008，92(14)：141908.

[2] Mindlin R D. Second gradient of strain and surface tension in linear elasticity[J]. International Journal of Solids and Structures. 1965，1：417-438.

[3] Fleck N A，Hutchinson J W. A reformulation of strain gradient plasticity[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2001，49(10)：2245-2271.

[4] Yang F，Chong A C M，Lam D C C，et al. Couple stress based strain gradient theory for elasticity[J]. International Journal of Solids and Structures. 2002，39(10)：2731-2743.

[5] Lam D C C，Yang F，Chong A C M，et al. Experiments and Theory in Strain Gradient Elasticity[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2003，51(8)：1477-1508.

ASizeEffectModelforMicro-componentBasedonHighOrderStrainGradientTheory

YUAN Bo，QIU Yong-liang，HE Xian-yun，XU Yong-jun

(Department of Mechanical Engineering，Guangdong Polytechnic of Industry & Commerce，Guangzhou 510510，Guangdong，China)

Size effect has been observed from the mechanical testing of micro-components，classical mechanical model cannot be used to explain this phenomenon. In this paper，a model based on high order strain gradient (HSGE) theory is constructed to predict the bending size dependence of the elastic property of microfibers under three-point tests. The model contains a length scale material parameter and can be applied to explain the size dependency in bending test for micro-components. The applicability of the model was analyzed by comparing with published model.

micro-component，size effect，high order strain gradient

广东省高等职业院校珠江学者岗位计划资助项目(2016)；国家自然科学基金项目(No.51202069)

TQ 317.3