“特值探路策略”在课标卷把关题中的应用探析

刘盛

【摘要】“特值探路”是重要的数学解题策略之一，是“特殊与一般思想”在数学解题中的应用.“特值探路策略”在解决数学难题上有重要的作用，可以帮助我们辨明问题的解决方向，进而轻松获得问题的解决.

【关键词】特值探路；数学解题；应用探析

以下就它在课标卷把关题中的应用举例探析，以飨读者.

例1设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<0，则a的取值范围是（）.

A.-32e，1

B.-32e，34

C.32e，34

D.32e，1

解析本题是选择把关题，依常规方法求解极为烦琐，若运用“特值探路”策略予以求解轻松快捷.

取x=0探路，有f（0）=-1+a<0，由已知“存在唯一的整数x0使得f（x0）<0”，可以判断x0=0，故f（-1）≥0且f（1）≥0，解得a≥32e，又a<1，所以32e≤a<1，正确答案为D.

例2数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，则{an}的前60项和为.

解析本题是填空把关题，依常规方法求解同样极为烦琐，运用上述“特值探路”策略予以求解简单快捷.

由an+1+（-1）nan=2n-1，得an+1=2n-1-（-1）nan.

取a1=1探路，有a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，a7=1，a8=14，….

由于本题是一个具有一般性性质的问题，结果为定值，它不会因为首项的变化而变化，所以可以猜想，数列{an}的奇数项均为1；偶数项是以2为首项，4为公差的等差数列，故S60=30×1+30×2+30×292×4=1 830.

例3已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围.

解析本题是解答把关题，第（Ⅰ）问不难，难在第（Ⅱ）问，难在如何对参数k分类讨论.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）.

依常规方法，构造函数F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2，

则F′（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1）（x≥-2），

至此需对k分类讨论，但许多学生不知应该从何开始讨论，如何分类，怎么办？

其实，若能借助“特值探路”策略，不仅可轻松探明讨论方向，而且可大大简化讨论过程.

由题设可知F（x）≥0对一切x≥-2成立，所以可取x=0探路.

由F（0）≥0，即得k-1≥0，所以k≥1.

至此问题就好解决了，令F′（x）=0，得x1=-lnk，x2=-2.

① 若1≤k

所以当x∈（-2，x1）时，F（x）<0，

當x∈（x1，+∞）时，F（x）>0，

即F（x）在（-2，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，

故F（x）在x=x1取最小值F（x1）=2x1+2-x21-4x1-2=-x1（x1+2）≥0，

所以当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

② 若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（ex-e2），

所以当x≥-2时，F′（x）≥0，

∴F（x）在（-2，+∞）单调递增，

而F（-2）=0，∴当x≥-2时，F（x）≥0，

即f（x）≤kg（x）恒成立.

③ 若k>e2，则F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）<0，

所以当x≥-2时，f（x）≤kg（x）不可能恒成立.

综上所述，k的取值范围为[1，e2].

以下就“特值探路”策略在大纲卷试题中的妙用举一例说明.

例4已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1.

（Ⅰ）当a=2时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围.

解析本题也是解答把关题，第（Ⅰ）问不难，同样难在第（Ⅱ）问.

对于第（Ⅱ）问，若运用分类讨论或变量分离方法予以求解均异常烦琐，但若运用“特值探路”策略予以求解轻松快捷.

因为f（x）≥0对一切x≥2成立，故可取x=2探路，由f（2）≥0，得15+12a≥0，a≥-54，以下证明当a≥-54时，f（x）≥0对一切x≥2成立.

证明f（x）=x3+3ax2+3x+1，f′（x）=3x2+6ax+3.

因为当a≥-54时，f′（x）≥3x2+6×-54x+3≥3×22+6×-54×2+3=0，

所以f（x）在[2，+∞）上递增，故f（x）min=f（2）.

又a≥-54时，f（2）≥0，故a≥-54.

相对于其他方法，如此求解轻松快捷，彰显了“特值探路”策略的巧妙，以及“特殊与一般思想”的神奇魅力！