例谈应用几何画板编写动点几何的综合题

刘维兵

【摘要】动点几何问题一直是中考的热点，突破这类试题的关键在于教师会应用几何画板编写动点几何的综合题，用案例的形式说明编写试题的四个步骤——画基本图、增添动点、寻找特例、取舍试题，以启迪他人.

【关键词】动点几何；几何画板；编写试题

动点几何问题一直是中考的热点，这类问题综合性强、题目灵活多变、难度较大，学生常感到困难甚至无从入手，问题出现在学生身上，但问题的根源却在教师，本文结合自己教学案例来介绍这类问题的求解策略——画基本图、增添动点、寻找特例、取舍试题，供同仁们学习参考.

一、一般选择特殊的图形入手，这样可以避免繁难的计算

已知一个直角三角形纸片ABC，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3.

画图：如图1所示.

畫出线段AC=4：应用“线段直尺工具”画出线段AC，选中AC应用“度量”中“长度”度量AC，选中AC长度单击右键，选中“属性”下“数值”中“精确度”修改为“十分之一”，应用“移动箭头工具”单击A点，再应用键盘中箭头键左右调整，使AC=4.

画出线段BC=3：应用“移动箭头工具”单击C点和线段AC，应用“构造”中“垂线”做出垂线，应用“点工具”在直线上取一点B使BC=3，选中直线BC应用“显示”中“隐藏对象”.

画出线段AB：应用“线段直尺工具”连接AB两点，就得到直角三角形ABC.

二、应用几何画板中“变换”进行几何作图

点E，F分别是直角三角形纸片ABC中AC，AB边上点，连接EF，将纸片中∠BAC沿EF折叠，折叠后点A落在直角三角形纸片ABC边上的点D处.

思考：点A落在直角三角形纸片ABC边上可能有三种情况：分别落在AB，AC，BC.

画图：点A落在AB上，如图2所示，点A落在AC上，如图3所示，点A落BC在上，如图4所示.

应用“点工具”在边上取一点D，应用“线段直尺工具”连接AD两点，应用“构造”中“中点”做出中点，选中线段AD和中点应用“构造”中“垂线”做出垂线分别交AB，AC于E，F，连接DE，DF，EF.

三、拖动动点，观察点的变化，寻找特殊位置，思考关联知识

如图2所示，点A落在AB上，当F为AC的中点时，EF的长由三角形相似求出.

如图3所示，点A落在AC上，当F为AC的中点时，EF的长度由中位线求出.

如图4所示，点A落在BC上，当DE∥AC时，四边形AEDF是一个菱形，考查菱形的知识.

如图5所示，点A落在线段BC上，AF的长是在一定范围变化的，考查求取值范围的方法.

点A落在直线BC上，让学生学会分类思考：当DB=1，点D可能在线段BC上，如图5所示，要运用全等三角形的知识，也可能在CB延长线上，如图6所示，要运用勾股定律解决.

四、根据教学内容，按照由易到难，合理取舍题目，适当增加逆向思考试题

如图5所示，试题选择折叠后点A落在直线CB上的点D处.

（1）当D运动到DE∥AC时，试判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论；

（2）当DB=1时，求AF的长；

（3）当D在BC边上时，求AF的取值范围.

解析（1）如图4所示，当D运动到DE∥AC时，四边形AEDF为菱形.

由题意得AE=ED，AF=DF，∠AFE=∠DFE.

由DE∥AC，得∠AFE=∠DEF，∠DEF=∠DFE，DE=DF.

∴AE=ED=DF=AF，∴四边形AEDF为菱形.

设计目的：让学生掌握平行线的性质、三角形全等、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识，并会灵活应用.

（2）如图5所示，当DB在线段B上.

∵DC=3-1=2，设AF=DF=x，CF=4-x，

在Rt△CDF中，22+（4-x）2=x2，解得x=2.5=AF.

如图6所示，当DB在BC的延长线上.

∵DC=4=AC，∠A=∠D，DE=AE，

∴△CDE≌△CAE，

由折叠得△FDE≌△FAE得CE=EF，AF=4.

设计目的：让学生掌握三角形全等、勾股定律等知识，会运用勾股定律列方程求线段的长，让学生学会分类思考的数学思想方法.

（3）如图5所示，设AF=DF=y，CF=4-y，DC=x.

在Rt△CDF中，x2+（4-y）2=y2，y=0.125（x2+16）.

∵0≤x≤3，y随x增大而增大，

∴当x=0时，AF=2；当x=3时，AF=3.125，

∴2≤AF≤3.125.

设计目的：让学生掌握求取值范围可以转化成函数来求.

逆向变式训练设△DFG的面积为S1，△ACD的面积为S2，p=S1∶S2，当516≤p≤13时，求CD的变化范围.

设计目的：通过逆向思维训练，让学生灵活地掌握求取值范围的常用方法：几何特殊值法、函数最值法.

此题巧妙地利用几何画板把几何多种情况集中到一起，做到化繁为简，转化为规则图形，从变换和运动的角度来研究几何图形，通过几何画板中“变换”“构造”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理，培养学生的分析、解决问题的能力、空间观念和推理能力.

【参考文献】

[1]芮炳辉.几何画板在高中数学教学中的应用例谈[J].中国教育技术装备，2011（19）：145.

[2]张建军，陈唐明.巧用几何画板开展数学实验教学[J].中国现代教育装备，2011（10）：36-38.