基于小学数学问题分析化归思想方法的基本原则

王广敏

【摘要】化归思想方法是小学数学中最基本、最典型的数学思想方法，是创造性数学素养的体现.化归方法有以下基本原则：熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、极端化原则、和谐化原则.本文基于几个小学数学问题，具体解释小学数学教学过程中化归方法的原则.

【关键词】化归思想方法；基本原则；小学数学；小学数学问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法.”[1]“化归方法”是小学数学中最基本、最常用的数学思想方法，它是指把目前我们尚未解决、难以解决的问题，经过某种转化过程，归结为某些现在我们已经能够解决或者较易解决的问题，进而可以将原问题顺利解决的一种手段和方法.本文基于几个小学数学问题，具体分析总结小学数学教学过程中化归方法要注意的一些原则.

一、熟悉化原则

将比较“陌生”的问题转化为目前我们甚是“熟悉”的问题，以便我们利用已有的知识去解决它.

问题1已知三角形内角和为180°，问：四边形、五边形的内角和是多少？

分析四边形、五边形内角和这一问题对于刚学习完三角形内角和为180°的小学四年级学生而言是比较陌生的，那么我们要如何做呢？如图所示，我们可以用辅助线（从一个顶点出发作对角线）将四边形分解成两个三角形、将五边形分解为三个三角形，此为解决该问题的关键所在.这样便将较陌生的四边形、五边形内角和的问题转化为我们熟悉的三角形内角和的问题.我们已经知道三角形内角和为180°，则四边形、五边形内角和分别为360°（180°×2=360°），540°（180°×3=540°），问题便解决了.同时借助这一做法和规律，六边形、七边形……多边形的内角和问题也迎刃而解.

问题2对于任意一个给定三角形，如何再画一个三角形，使其面积等于给定三角形的面积？对于任意一个凸四边形，如何画一个三角形，使其面积等于该四边形的面积？

分析已知对于任意两个三角形，只要等底等高，则这两个三角形面积相等.如在图1中，在给定的△ABC中，过点C作线段AB的平行线l，在直线l上任取一点C′，则△ABC的面积和△ABC′的面积是相等的.那么对于任一给定的三角形，我们便找到了另外一个三角形使得二者面积相等.此即为已知.

我们已知如何画面积相等的三角形，那么在图2中对于给定的四边形DEFG，我们可以先借助辅助线将其分解为两个三角形，即△DGF和△DEF，而我们的目的是将给定的四边形变成一个面积与其相等的三角形.借助已知的画面积相等三角形的做法，我们试想能否将其中一个三角形例如△DGF画成另一个面积相等的三角形并且还能与△DEF拼成一个新的三角形呢？如果可以做到的话，那么这个问题我们就解决了.我们已经知道如何做一个面积与△DGF面积相等的三角形，即只要在过G点做的线段DF的平行线m上任取一点G′，则△DG′F的面积便与△DGF的面积相等了，但是我们还需要令△DG′F和△DEF组成一个新的三角形，那么这个点G′究竟要取在何处才能满足我们的要求呢？我们发现只要将G′取在过G点做的线段DF的平行线m与过D点做的线段DE的延长线n的交点处即可.此时△DG′F和△DGF的面积相等并且△DG′F和△DEF还能拼成一个新的三角形即△EFG′.那么对于任一给定的凸四边形，我们便做出了一个三角形使得其与凸四边形面积相等.

同理，对于凸五边形，借助这一思路，我们只需先将其转化成一面积与之相等的凸四边形，然后再借助上述做法将此凸四边形变成面积与之相等的三角形即可.借助这一思路和做法，凸六边形、凸七边形……凸多边形也可以类似解决.

二、简单化原则

将较显繁杂的问题转化成较为简单的形式，从而使原问题顺利、简便解决.

问题3计算（3.36×4.625×1.25）÷3925×114×458.

分析题目中出现的小数较为复杂，倘若直接依据运算法则来进行计算，先算括号里的乘法，再将第一个括号里乘得的數与第二个括号里乘得的数做除法运算，则运算过程较显复杂，并且在计算过程中极易出现错误.但是，若先将小数转化成分数的形式3925×458×114÷3925×114×458，此时发现第一个括号里由小数化成的分数刚好与第二个括号里的分数是一样的；或者将分数化成小数的形式（3.36×4625×1.25）÷（3.36×1.25×4.625），此时发现第一个括号里的小数刚好与第二个括号里由分数化成的小数是一样的，然后再进行计算，得到结果为1.这样便将原本复杂的计算过程简单化，而且还不易出现错误.

三、直观化原则

将较为笼统抽象的问题转化成具体、直观的问题，以便学生能够清晰准确地理清问题中事物之间的具体关系，进而可以将问题顺利地解决.

问题4小明在商店买了3支钢笔和2支圆珠笔，共花了51元，小红在商店买了2支钢笔和3支圆珠笔，共花了49元.问：钢笔和圆珠笔分别多少钱？

这是一道小学三年级的数学题，此时学生还未学习二元一次方程组，并且小学三年级学生的抽象、逻辑能力还不太强，他们此时的思维活动需要借助具体直观事物的支持.所以针对此时学生的情况，教师在讲解较为抽象的问题时，可以借助一些实物或其他教具呈现给学生，让学生清晰准确地理清事物之间的关系，进而将问题顺利解决.

分析+=51元，+=49元，+=20元，那么+=29元，那么圆珠笔价格为29-20=9（元），钢笔价格为20-9=11（元）.有了具体事物的支持，学生能很容易地理清钢笔和圆珠笔之间价格的关系，进而一步步顺利地将问题解决.

四、极端化原则

将问题处于极端化、特殊化位置或状态时得到的答案推广为一般情况下问题的答案.即由特殊到一般.endprint

这个原则学生使用最多，特别是遇到不会做的题目时，取一特殊情况，求解.

问题5两人轮流在圆桌上摆同样大小的硬币，每人每次只能放一枚且硬币不可有重叠部分，规定谁放最后一枚，谁就获胜.先放好还是后放好？怎么放？

分析取极端、特殊情况，假设圆桌大小和硬币大小一样，要想获胜的話，此时应先放并且要将硬币位于圆桌中心，则另一人的硬币便无处可放.所以由特殊向一般推广，得到结果应该为先放较好，并且先放者要将硬币位于圆桌中心.

当然，这只是由特殊情况得到的结果.实际上就一般情况而言，借助圆的轴对称及中心对称性质，只要先放的人将硬币放在圆桌中心，则先放者一定获胜.所以，在教学过程中，我们不仅要解决问题，还要将解决问题的思路、方法迁移.

五、和谐化原则

将问题的条件和结论的表现形式转化为数、式、形更加和谐统一的形式，进而有助于我们解决问题.

问题6一个笼子里有鸡和兔子，共10个头，24只脚，问：鸡和兔子各有多少只？

分析一个动物一个头，则共有10个动物.一只鸡2只脚，一只兔子4只脚，鸡的脚的数量和兔子的脚的数量不一样，不和谐.为了和谐起见，让所有兔子抬起两只脚，则鸡和兔子都变成一个头两只脚.那么此时10只动物的总脚数应该为10×2=20（只），比原来的总脚数少24-20=4（只），少的这4只是所有兔子都抬起两只脚所减少的脚的总只数，每只4脚兔的脚减少4-2=2（只），所以4脚兔共有4÷2=2（只），则2脚鸡有10-2=8（只）.

匈牙利著名数学家路沙·彼得（Rozar Peter）在《无穷的玩艺》中写道：“数学往往不是对问题进行正面攻击，而是不断对它进行变形，直到把它转化成能够解决的问题”[2].当然，变形并不是一种无目的的活动，应始终“盯住目标”，一步步朝目标靠近.

化归法最终表现为一种解决问题的方法，但是要想成功地应用它，必须以“数学发现”为前提，即关键在于要找到正确的化归方法和方向.只有通过一定的实践与反复，才能找到正确的化归方向和方法，才能更快、更有效地解决问题.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：2.

[2]潘勇.数学化归思想方法及其教学探研[D].南京：南京师范大学，2004：9.endprint