基于数学文化的数学教学设计例析

谢孝顺

【摘要】数学文化作为一种特殊的文化形态，已经得到了数学界和数学教育界的广泛重视.近年来，随着信息技术的发展、数学课程的不断改革，表明数学素养在数学教育中的地位越来越突出，同时也说明了数学文化在数学教育中扮演的角色也越来越重要.基于数学文化的教学设计，应该是联系数学文化理论与实践研究的一种方式，对其深入探究可以促进数学文化理论在数学教学实践中的渗透.

【关键词】数学文化；教学设计；函数

数学文化作为一种特殊的文化形态，已经得到了数学界和数学教育界的广泛重视.近年来，随着信息时代的发展、数学课程的不断改革，表明数学素养在数学教育中的地位越来越突出，同时也说明了数学文化在数学教育中扮演的角色也越来越重要.

《普通高中数学课程标准（实验）》在“课程的基本理念”中指出，数学教育应体现数学的文化价值[1]，而体现数学的文化价值实质上就是在数学教育中，不仅仅要注重数学知识的教育，更重要的是注重知识背后蕴涵的数学思维过程、背景、发展脉络和数学思想、数学精神等的教育，即数学文化教育[2][3][4].《九年义务教育数学课程标准（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出，数学课程应反映数学文化，并要求以渗透的方式融入数学课程当中.那么如何让数学教学充满活力，特别是在当前提倡发展学生核心素养的背景下，如何在数学教学中更好地融入数学文化，做到数学知识和数学文化的和谐统一，数学知识与人的全面发展相结合，从而更好地促进数学教育的发展，是摆在我们每一个数学教育工作者，特别是一线数学教师面前一个重要的课题.本文拟从两个方面阐述，如何在平时的数学教学中真正融入数学文化.

一、数学教学“教什么”

现行高中数学教学存在的若干个困惑，主要表现在三个方面：（1）数学概念教学的困惑；（2）学生形成个人的数学观与其成长的困惑；（3）《课标》与高考应试之间对应的困惑.

教育部在《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》中阐明，高中教学应积极培育学生的社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的选拔功能和育人功能，同时也要增加中华优秀传统文化的考核，比如，在数学中增加数学文化的内容.笔者认为，数学教学不仅仅是知识层面，更重要的是思想方法层面、精神层面和知识的生成过程，即数学文化应该渗透在数学教学中，只有这样才符合现代教育的发展理念[5].因此，可以说数学文化能够决定和影响数学教学，其主要表现在两个方面：（1）决定“教什么”；（2）影响“如何教”.

决定“教什么”，从宏观方面看，就是要符合高中数学课程标准；从微观方面看，就是要能够实现高中数学课堂的教学目标.而判断课堂教学是否真正高效的标准，是要看教师在教学中是否能引导學生积极探索，学生思维是否受到了有效的启迪，学生分析问题、解决问题的能力是否能有所提高，学生的钻研品质是否能得到培养.因此，在课堂教学中不仅仅要注重数学知识的传授，更重要的是对学生的数学思想方法、数学素养的培养.特别是数学概念的教学，教师要善于引导学生从日常生活中的实例入手，通过有关的实物、图示、模型等，在学生已有的数学知识和经验的基础上，经历从感性认识到理性理解的转变，从而自然地引入概念，使学生对概念有深刻的认识，同时让我们的教学目标水到渠成.下面以“函数的概念”中的教学片断为例简要说明.

函数的概念是数学最重要的概念之一，其本质是从一个非空数集到另一个非空数集的特殊对应，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型.

《普通高中数学课程标准（实验）》中指出，函数概念的教学应通过丰富实例，进一步让学生体会函数是描述变量之间的一种重要的数学模型，并在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素；从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试通过列举不同的函数，从而构建函数的一般概念[6].因此，本节课的教学目标如下：

1.正确理解函数的概念，能用集合与对应语言描述具体函数.通过实例分析，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.

2.理解函数的三要素，会判断两个函数是否相等，认识函数概念的整体性.

3.理解符号f（x）的含义，能解释y=f（x）与y=f（a）的区别与联系.体会函数思想、代换思想.

4.通过学生亲身经历，由特殊到一般的研究过程，培养学生类比与联想的学习能力.提高学生的抽象概括、分析总结、数学表达等基本数学能力，同时培养学生的质疑、探究精神.

初中函数的概念比较直观，本节课函数的概念较为抽象，高一学生的思维水平还不善于把抽象概念和具体实例联系起来.因此，在教学中，需要帮助学生建构情境，便于学生理解函数是从集合到集合的一个对应关系.但是，短短的45分钟要让学生经历函数定义发展史上一百多年的探究历程，学生独立完成起来很困难.在教学中，应根据学生的心理特征和认知规律，以问题为主线，以学生为主体，以教师为主导的教学理念，通过一系列的设问、引导、启发、发现，从而引领学生归纳概括出函数概念的本质.笔者认为，本节课要想达到预设的效果，在教学过程中必须向学生解释清楚以下几个疑问.（1）怎么从初中概念出发得到高中函数概念？（2）对应法则是指什么？（3）为什么要引入函数符号？

教学片断一

教师：我们在初中已经学习了函数，就函数这个内容，你还有哪些印象呢？（学生跃跃欲试）

问题1：根据初中学习的函数的概念，你能举出几个函数的具体例子吗？（直接引入，留给学生思考时间）

在学生回答基础上继续问：你为什么认为你举的是一个函数的例子？

设计意图：通过具体实例，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望.目的是在学生对初中所学函数概念的认知基础上，让学生感受函数概念的本质，即对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.通过此问题来刺激学生大脑，活跃课堂，并培养学生的逻辑思维能力.

教师：同学们举的例子非常好，那么大家能否对教材的实例1做出判断？

问题2：一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h=130t-5t2，那么炮弹距离地面的高度h是时间t的函数吗？为什么？

生1：对于任一个给定的时间t，都有唯一确定的高度h跟它相对应，因此，h是t的函数.

教师：很好，那给一个具体的时间t，你怎么得到与之相对应的高度？

生2：通过h=130t-5t2.

教师：你能说出t=1 s，5 s，10 s，50 s时对应的高度h吗？

生3：t=1 s时，h=125 m；t=5 s时，h=525 m；t=10 s时，h=800 m.由于炮弹在26 s时已经落到地面爆炸了，因此，在t=50 s时没有高度跟它对应了.

教师：那能否说任何一个时间t，都有唯一确定的高度h与之对应？

生4：对于0 s～26 s之间的每一个时间t，通过h=130t-5t2，都有唯一确定的高度h跟它相对应.

教师：0 s～26 s是我们生活中的语言，其实我们可以用数学语言——集合来表示这个范围，你能说出这个集合吗？

生5：A={t|0≤t≤26}.

教师：那么高度h也应该是一个范围，也能用集合表示吗？

生6：B={h|0≤h≤845}.

教师：下面我们能否用集合的语言来描述这个实例中的对应关系？

生：对于集合A中的每一个时间，集合B中都有它的130倍减去它平方的5倍与它对应.

设计意图：学生在初中阶段，已经学习了用变量观点描述的函数的概念，并具体研究了几类简单的初等函数，对函数有了一定的感性认识.另一方面，在第一章已经学习了集合，为学习用集合和对应的语言描述的函数的概念打下了基础.以上知识为函数概念学习，提供了认知基础.同时，这一年龄段的学生，普遍思维活跃、求知欲较强、自我表现欲望较强.以上因素为本节课教学提供了非认知基础.本例题具有承上启下的作用：既是对初中已学函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合的语言刻画函数概念的本质埋下伏笔.此外，本例题符合学生的认知规律，化抽象为直观，学生容易理解.

二、数学教学“怎么教”

在新课程背景下，课堂是师生成长、发展的主阵地，它强调了以人为本，以学生的发展为本，一切为了学生，为了一切学生，为了学生一切的课程理念.因此，现行的高中数学课堂应该倡導学生的自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等多元的数学教学模式，把“课堂交给学生”，真正实现“不教而教”的终极目标.但这并不是否定教师的主导作用，而是更强调教师要时时调控与把握课堂，让数学文化融入其中，让教与学两者处于最佳状态，从而真正实现“高效课堂”[7].那么在平时的数学课堂教学中，我们的数学教师如何教，怎样引导学生学、怎样帮助学生才能真正体现学生是教学的主体.教师作为教学活动的组织者、引导者和参与者，是我们每一个高中数学教师的事业追求目标和职业状态，这也正好体现了学生的认知规律和数学本身发展的规律[8].

教学片断二

问题3：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而，出现了臭氧层空洞问题.下图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞面积从1979—2001年的变化情况，那么臭氧层空洞面积S是时间t的函数吗？为什么？

生1：面积S是时间t的函数，因为对于每一个确定的t值，都有唯一确定的一个面积S跟它对应.

教师：好，那给一个具体的时间t，你怎么得到与之相对应的面积S？

生2：根据图像.

教师：那你能说出2001对应的面积吗？

生3：26.

教师：前面问题2中的对应关系是用解析式表示的，那这个问题中的对应关系是用什么表示的？

生4：用图像表示的.

教师：好，那么是不是对任何一个时间t，通过图像，都有一个面积S与它对应呢？

生5：不是，对于1979～2001之间的每一个时间，都有唯一的面积S与它对应.

教师：很好，如何用集合来表示时间这个范围.

生6：A={t|1979≤t≤2001}.

教师：同样的，那面积S也是一个范围，怎么用集合表示？

生7：B={S|0≤S≤26}.

教师：你能用集合的语言描述一下这个对应关系吗？

生8：对于集合A中的每一个时间t，集合B中都有唯一的面积S与它对应.

教师：那么集合B可以是B={S|0≤S≤30}吗？

生9：可以.

教师：那集合B可以是{S|0≤S≤24}吗？为什么？

设计意图：让学生参与学习过程，体验图像是一种记录两个变量之间的对应关系的语言，进一步提高学生用数学语言表达问题的能力.

教师：我们学习过很多的数学概念，当我们认识到概念的本质属性以后，我们并没有停止，这些数学概念往往都沉淀成一个数学符号.如某个锐角的正弦，我们发现不管在那个直角三角形中，只要这个角的大小一定，那么这个角的对边比斜边都不变，我们把这个定值称为这个锐角的正弦，那么这两个实例的共同属性是不是也可以用一个符号来表示？

教师板书：f：A→B，即x→y=f（x）.

设计意图：数学中的概念通常是用符号来表示的.学生总结两个实例的共同属性，能够认识到函数的本质，这时及时地引进数学符号，不仅可以引导学生把符号和它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的本质特征，从而可以提高学生的抽象能力、概括能力.

构建函数的概念：

设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；x与的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域[9].

总之，基于数学文化的教学设计应立足于数学教育本质，通过建立数学与数学史（或数学文化史）、社会文化、数学应用、民族传统等的联系，将数学本质与学生主体的经验有机地融合.同时数学教学不仅仅是数学知识的传授，还要发掘蕴涵于知识之中的精神、思想和方法，发扬它的文化教育价值，使其能够在学生的数学素养形成方面，发挥积极的作用，从而促进学生文化素质的全面提高[10].

【参考文献】

[1]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]陈克胜，代钦.融入还是包容——关于《普通高中数学课程标准（实验）》中的“数学文化”的思考[J].数学教育学报，2011（5）：90-93.

[3]喻平.正确处理数学教学中的基本矛盾（上）[J].教育理论与实践，2009（9）：41-45.

[4]徐文彬.关于数学文化视域中数学教学的若干思考[J].課程·教材·教法，2012（11）：39-45.

[5]吴旭红.数学文化的课堂渗透例析[J].中学数学研究，2016（5）：1-4.

[6]渠东剑.过程与方法可以成为三维目标的抓手[J].中学数学教学参考，2014（6）：27-28.

[7]钱宁.自主探究，互动交流，让课堂更高效[J].中学数学教学参考，2014（6）：15-17.

[8]王永生，朱维宗.让高中数学课堂多一些欣赏，少一些浮躁[J].中学数学教学参考，2014（6）：31-33.

[9]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书·数学1必修[M].北京：人民教育出版社，2007：16.

[10]张维忠，徐晓芳.基于数学文化的教学案例设计述评[J].浙江师范大学学报，2008（3）：20-25.