从最短距离浅析数学的抽象问题

张少林

【摘要】本文由最短距离问题出发，分析其蕴含的思想、方法，并引出数学抽象方法的概念、原则、分类.

【关键词】最短距离；抽象；基本原则；分类

什么是数学？不同年龄层次的人，对这个问题的回答是不同的，他们的回答，可能仅仅是从某一个侧面来进行的，即从学习的过程、表现的情况、数学的应用等这些形式来说明的.就其本质来说.数学实际上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象，只有通过抽象才能得到抽象的东西.数学无论是在内容上还是方法上都呈现出极其高度的抽象性.数学的抽象有四个基本特征：无物质性，层次性，抽象过程要凭借分析或直觉，不仅有概念的抽象还有方法的抽象.用数学方法思考事物时，往往只考虑其量的特征、形的特征.下面以最短距离浅谈数学的抽象问题.

一、最短路线问题

在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题.比如，邮递员送信，要穿遍所有街道，为了缩短时间，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳路线，以求能够走最近的路而到达目的地；等等.这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”.

例如，我们仅从邮递员投送信件为例来说说一笔画的原理.

一名邮递员投送信件的路线如图所示，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局.问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？

分析：选择最短的路线最合理.那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的.邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点.因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点.但是图中有8个奇点，显然邮递员走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的.要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须把8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点.如果有不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短.

为使8个奇点变成偶点，我们可以用下图的4种方法走重复的路线.

图中的虚线即重复走的路线.

重复走的路线最短，总路程就最短.从上面的计算不难找出最合理的路线了.

那么，一笔画的原理是什么呢？

对于这个问题，我们要追溯到欧拉研究“七桥问题”上来.欧拉运用了三步抽象：（1）把地图抽象成“点线图”；（2）把问题抽象成“一笔画问题”；（3）把问题转化为数学方式的叙述.欧拉通过对该问题进行分析研究，最终证实“七桥问题的走法根本不存在”.同时，他发表了“一笔画定理”，即一个图形要能一笔画完成，必须符合两个条件：（1）图形必须是封闭连通的；（2）图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2.

欧拉解决这一问题所用的思维方法，就是抽象方法.而上面我们所遇到的最短距离的解决就是充分利用“一笔画原理”，即从几何里抽象出来的这一原理.

二、数学抽象的概念

数学是反映现实世界的，它产生于人类的实际需要.数学最初概念原理的建立，是以经验为基础的长期发展的结果.

数学抽象是利用抽象的分析方法来获得数学概念、构造数学模型，建立起数学理论的数学思维活动，它着眼于客观世界的空间形式和数量关系，以及在结构上与之相关联的形式和关系.

例如，古代的人类在从对周围事物的观察中发现，一头羊、一棵树、一块石、一個人等单个事物具有一个共性，即它们都能与一个手指建立对应，这区别于多个事物组成的群体，从中抽象出数1的概念.在这个过程中，人们撇开羊、树、石头和人在形态、重量和其他方面的差异，只考虑它们的数量特点.

又如，在对各种平面图形的观察中，人们发现形形色色三角形具有这样的特征——由三条直线段首尾相接形成的封闭图形，并以此区别于其他图形，由此抽象出三角形的概念.在这过程中，人们撇开各边的长度、具体形状的差异，只考虑其基本几何特征：（1）基本因素是三条直线段；（2）组成方式是首尾相接；（3）表现形式是封闭图形.

三、数学抽象的基本原则

据现代流行的观点，数学的研究的对象是一种模式，“数学就是对模式的研究”.而这种模式是逻辑建构的结果，是从现实原型或其他模式抽象出来的.因此，模式建构形式化原则被认为是数学抽象的基本原则.这种原则体现在数学对象具有以下特点：理想化、模式化、精确化、自由化、形式化.

（一）理想化

就其那些具有明显原型的数学对象而言，数学抽象是在纯粹理想状态下，对事物进行必要的简化和完善的加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的、共同的、本质的属性，抽象出相应的数学概念（对象）.如，几何中的点是没有长度、宽度的，线是没有宽度和厚度的，面是没有厚度的.它们在现实中不存在，但由于它们具有现实中各种点、线、面的共有属性，因而，更能深刻、正确、完全地反映客观原型的本质.

（二）模式化

通过数学抽象形成的数学概念或理论具有比数学原型更为普遍的意义，他们所反映的已不是一个特殊的事物或现象的量性特征，而是一类事物在量的方面的共同特性.从而，数学的研究对象事实上是一种模式.

如，Ax+By+C=0是二元一次方程的模式.它是由许多具体的二元一次方程抽象出其共性和本质的特点而形成的数学对象，是二元一次方程这个概念的精确描述.

（三）精确化

由于把数学对象置于理想化状态，且借助纯粹数学语言来描述，因此，可以对数学概念、结果等做精确的描述.例如，瞬时速度、加速度、积分的概念都是通过极限来描述，才达到精确且严密的地步.

（四）自由化

人们不仅可以直接通过现实原型去抽象并构造出具有明显直观意义的数学模型，而且可以通过思维的“自由想象”构造出可能与任何现实世界的事物没有直接关联甚至有悖常理的数学模式.这通常是建立在已有数学模式上的再抽象.endprint

（五）形式化

模式的研究完全脱离现实原型处于“纯粹形式”的状态下来研究.正像计算机下棋一样，它只按规则运作，根本不管“车”“马”“炮”分别表示什么实际意义.

如，理想元素的引入.当人们已习惯把几何中的理想化的点、线、面、体当成普遍的研究对象后，经过再次抽象，可引入非常普通的理想点——“无穷远点”的概念，把这个平面上原来不存在的点附加给平面，就可以得出这样的结果：平面上任意两条直线必交于一点，当它们不平行时，交于普通的点；当它们平行时，就交于理想点.显然，无穷远点是为了把平面上两条直线相交与平行的情形统一起来而进行的抽象，它更不直观.

四、数学抽象的分类

（一）弱抽象与强抽象

弱抽象是指由原型[被抽象的对象，可以是现实原型或已有的数学模式（型），特别是概念等]中选取某些特征或侧面，从中抽取共性，得到比原型更为普遍，更为一般的新模式，并使前者成为后者的特例.

例如，由现实原型的特征出发去构造相应的数学模型，事实上就是一个弱抽象的过程.此外，常见的是从已有的概念出发，减弱其中某一属性的限制，就得到比原来更为广泛的概念.这是通过缩小原概念来建立新概念的抽象方法.

又如，在解析几何中，人们从平移变换、转轴变换中分别去除一部分特殊属性，抽象出其共性——正交性，得出正交变换的概念，使得平移与转轴都是正交变换的一个特例.

强抽象是指通过引入新特征来强化原型的数学抽象，使获得的新模型是原型的特例.例如，从函数的一般性定义出发，引入连续性的新概念，然后把具有连续性特征的函数定义为“连续函数”.那么连续函数这一新概念就是原型——“函数”的一个特例.

由此可知，弱抽象与强抽象是紧密关联的，其思维方向正好相反.恰当地利用弱抽象，可以将有的概念和理论推广成为更一般的概念和理论；利用强抽象，可以加强对数学对象的研究的深度.

（二）理想化抽象

理想化抽象指根据数学研究的需要，人为地构造出一些理想化的对象的思维过程.所谓理想化的对象其实是对现实对象的一种更高层次的抽象.

比如，在几何中，点、线、面、无穷远点、无穷远线，都是理想化抽象的结果，现实生活中，一般是不去讲点、线、面和射影幾何中的无穷远点、无穷远线这些基本概念的.

又如，在代数中，虚数、复数同样也是理想化抽象产生的.对于虚数，数学家在进行计算的过程中，发现一类数，如，在开平方的时候，无法进行时怎么办？无法解释，与原先的理论产生一定的冲突，这时候，数学家就引进了一个虚数单位，进一步产生了虚数的概念，进而产生了复数的概念.

（三）等价抽象

从一类对象（具体的或抽象的个体）中抽象出其中的某种共同属性的抽象方法.

如，设A是一个非空集合，A×A={（x，y）|x，y∈A}，若B是A×A的子集，则称A上的一个关系；而A上满足如下条件的关系B称为一种等价关系：

1.对称性：若（x，y）∈B，则（y，x）∈B；

2.传递性：若（x，y）∈B且（y，z）∈B，则（x，z）∈B；

3.自反性：对所有x∈B都有（x，x）∈B.

我们现在根据等价关系B把所考察的一类对象（数学中的一个集A）分割成若干个子集（称为等价子集）使得每一个子集中任何两个元素都互相等价，而不属于同一个等价子集的元素之间不等价.然后，把每个等价子集看成一个新元素，这些新元素全体应构成一个新的集合A.那么，集合A就是按等价关系从A中生成出来的新的研究对象.这样一个生成过程实质上是一种抽象，就称为等价抽象或等置抽象.由于A的每个元素是A的一个等价子集，所以A是比A具有更高抽象程度的集合.

【参考文献】

[1]顾泠沅.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004.

[2]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2013.endprint