分形理论在岩石断裂、损伤中的应用研究

陈鹏宇

（重庆市第八中学校 重庆 400000）

分形理论在岩石断裂、损伤中的应用研究

陈鹏宇

（重庆市第八中学校 重庆 400000）

分形理论是非线性科学的一门新学科。针对分形在岩石断裂中的应用，介绍了岩石沿晶破坏、穿晶破坏和耦合破坏三种微观破坏模式；介绍了破碎岩块分形维数计算的方法。针对分形在岩石损伤中的应用，总结分析了利用分形维数表征岩石损伤程度的两种常用方法。最后，根据对已有研究的分析提出思考，提出分形理论未来在岩石力学中发展的三个方向。

分形理论；岩石力学；损伤力学；断裂力学

1 引言

由于客观世界是极度复杂的，所以科研工作者普遍认为非线性才是世界的本质。通过对复杂事物进行直接的研究，才能够更加准确而充分地反映自然界的根本特征，在这一背景下分形理论逐渐形成并完善，它属于非线性科学的范畴[1]。

由于分形理论自身的特点，使得分形在很多领域都得到了迅速的发展。分形理论自上世纪八十年代末被谢和平院士引入中国以来，在岩石断裂和损伤力学中得到广泛的应用和发展。

2 分形理论的数学基础

分形儿何学的主要概念是分数维数。在经典几何学中，我们一般认为维数是一个整数。而对于分形几何中的重要概念分形维数df，它也有可能是分数，例如Koch曲线。

对于一个D维的物体，我们将它每一维的尺寸放大L倍，则会得到是原来K倍的物体

所以其中D就是我们所称的维数。从另一个角度，我们通过将物体缩小的方法来定义我们所说的维数，比如我们将一个大的正方形分成9个(N)比较小的正方形，那么每个边就要缩小为原来的1/3倍(r)，而且9个小正方形的总面积必然的等于，通过将这一概念进行普遍化，就可以表达为我们将r称做相似比，N称作生成物数。

3 分形理论在岩石断裂中的应用

3.1 分形与岩石裂纹扩展

岩石受荷载后，会形成微观裂纹与宏观裂纹并最终导致岩石的破坏。经过分析，岩石材料中微观裂纹的形态以及破碎后形成的碎块都是可以从分形的角度进行考察的。

在文献[2-6]中对裂纹的扩展形态问题进行了研究。其中文献[2，6]中根据岩石的CT扫描图片将岩石中的微观裂纹扩展形态分为沿晶破坏、穿晶破坏以及穿晶与沿晶耦合破坏三种方式。经过计算，几种不同的断裂方式下裂纹扩展的分形维数值如表1所示，分析发现裂纹的分形维数越大断裂就越难以产生，这与试验中的现象是相吻合的：

表1 不同断裂方式下裂纹分形维数

2.2 岩石破碎后岩块的分形维数

文献[6-9]中认为岩石在受压、岩爆或受到物理作用后产生的碎块都具有分形特征。b即为破碎岩块质量分布的分形维数。

文中统计观察到一些特征现象：试样产生破碎岩块的分形维数越大，碎块越多而体积越小，而且破碎的程度相对越高；试样产生碎块分形维数越小，则碎块越少但体积越大，而且试样的破碎程度相对越低，因此也证明了块度分布的分形维数可以定量地对岩石破碎后的破碎程度进行一定的反映。文中还发现试样破坏碎块的分形维数越大，在试样破碎时会出现爆裂的现象，岩石试样就会越脆；然而对于分形维数比较小的试样，试样破坏时一般表现为在试样中沿着某一剪切面产生剪切滑动破坏的特征，岩石的脆性会比较弱。因此，岩石破碎后的分形维数又可以表征岩石试样的脆性程度。

4 分形理论在岩石损伤力学中的应用

随着岩石力学的发展，众多研究证明，材料中的宏观裂纹出现以前，损伤这种现象就已经影响到了材料或者结构的强度与寿命[10]。目前对岩石损伤及其程度的描述一般是通过有效面积A或弹性模量E等宏观量来实现的。但是这种方法有一定的缺陷，比如不能够对损伤的微观机理进行直接的反应，缺乏很明显的物理意义[11]。

通过对已有文献的研究发现，将分形运用到岩石损伤力学的方法一般有两种：

（1）利用不同应力状态下的微裂纹分形维数表征此时的岩石损伤状态；

（2）在岩石微裂纹的分形维数与各种宏观量之间建立联系。

4.1 利用微裂纹分形维数表征岩石损伤状态

在文献[12-14]中都表明岩石和砼在受力过程中造成损伤的裂纹分布具有统计自相似性。其中文献[12]中表明：在应力加载条件下，很多材料损伤区的形状和范围大小都是随时间逐渐变化的一个时空函数。

有学者进行了大理岩张开型断裂实验，使用光学显微镜和自制加载装置进行了裂端的损伤演化观测。发现了岩石裂纹端损伤区范围和分布均具有很强的统计自相似性。

文献[14]利用同样的方法分析了混凝土试样受压峰前与峰后四种状态下内部裂纹的分形维数，其结果如表2所示。

表2 不同荷载下砼内微裂纹分形维数

由表1和表2可以看出，随着岩石和砼受荷载的增加，其内部微裂纹的分形维数在不断增加，说明岩石和砼内部的损伤程度随着荷载的增加而不断增加。这与现实情况是相符合的，同时也验证了利用分形维数来表示岩石类的损伤程度是可行的。

4.2 微裂纹分形维数同宏观量相联系

分形维数在岩石损伤中的另一个应用是将分形维数与各种宏观量联系起来，以分形维数表征岩石材料的细观本质，同时宏观量又便于实际应用。在文献[14-16]中都涉及到了如何将反映岩石类材料损伤微观实质的分形维数与各种宏观量结合起来。

文献[15]中利用Weibull模量m、岩石强度与分形维数D之间的关系推导了岩石强度与分形维数之间的关系式，可以看出岩石断裂强度与分形维数（即裂纹的分布）有关，但由于分形维数D之间也有关系而且目前并不清楚，因此岩石强度与分形维数之间的关系还有待进一步确定。

文献[14]中通过不同荷载状态下的裂纹分形维数表示了损伤因子。文献[16]中给出了利用盒维数表示的相对损伤变量，用相对损伤来表示爆破对岩石的影响程度。

5 讨论与展望

根据对已有诸多文献的研究发现，分形与岩石力学的结合已经取得了相当丰富的研究成果。但是，我们也应该需要注意到分形在岩石力学中的应用和研究还应该有更加丰富的内容。

首先，分形与岩石力学的数学基础理论应该是一个非常重要的努力方向。需要研究如何在分形空间中建立岩石的物理平衡条件、本构关系和强度准则等，另外还有对于分形空间中岩石的数值计算和初边值问题等。主要目的是为了建立一整套用于定量描述和分析分形岩体的基础理论与方法。

其次，对于岩石力学中的分形现象、性质和机理研究也存在很多没有探明和完全解决的问题。比如岩石性状和力学性质为什么会产生自仿射和多重分形性质，更复杂的还有煤与瓦斯突出和软岩巷道支护等岩体非线性动力学现象和特性的分形描述和机理研究。

最后，对于岩石力学分形研究在工程实际中的应用才刚刚起步，我们还要努力推广这种新的思想和方法，推动它在实际岩石工程中的实践和应用，这也是需要我们努力的重要课题。

岩石力学的分形研究属于一种交叉学科，虽然现在还不特别成熟，但是我们应该可以预见基于分形理论的岩石力学描述、分析和计算将会有广阔的发展。

6 结语

（1）在岩石断裂方面，总结了微观裂隙三种破坏模式，介绍了破碎岩块分形维数的统计方法。

（2）在岩石损伤方面，总结了分形理论在岩石损伤力学中的应用有两种主要方式。

（3）根据对已有文献的研究，通过自己的思考，对分形理论在岩石力学中未来的发展方向提出三个方面的建议。

[1]张永平，谢和平.由几何反演导出的分形几何[J].应用数学和力学，1990(11).

[2]谢和平.大理岩微观断裂的分形(fractal)模型研究[J].科学通报，1989(05).

[3]谢和平，陈至达.岩石类材料裂纹分叉非规则性几何的分形效应[J].力学学报，1989(05).

[4]谢和平.脆性材料裂纹扩展的分形运动学[J].力学学报，1994(06).

[5]谢和平.动态裂纹扩展中的分形效应[J].力学学报，1995(01).

[6]谢和平，高峰，周宏伟，左建平.岩石断裂和破碎的分形研究[J].防灾减灾工程学报，2003(04).

[7]高峰，谢和平，赵鹏.岩石块度分布的分形性质及细观结构效应[J].岩石力学与工程学报，1994(03).

[8]夏元友，吝曼卿，廖璐璐，熊文，王智德.大尺寸试件岩爆试验碎屑分形特征分析[J].岩石力学与工程学报，2014.

[9]李德，李守巨，于申，曹丽娟.压头作用下岩石破碎过程分形特性研究[J].岩土工程学报，2013(2).

[10]谢和平.岩石混凝土损伤力学[M].徐州:中国矿业大学出版社，1990.

[11]谢和平，鞠杨.分数维空间中的损伤力学研究初探[J].力学学报，1999(03).

[12]谢和平，高峰.岩石类材料损伤演化的分形特征[J].岩石力学与工程学报，1991(01).

[13]谢和平.脆性材料中的分形损伤[J].机械强度，1995(02).

[14]董毓利，谢和平.砼受压损伤的分形描述[J].力学与实践，1995(06).

[15]高峰，谢和平，赵鹏.Weibull模量和岩石强度的分形性质[J].科学通报，1993(15).

[16]祝文化，明锋，宋成梓.爆破荷载作用下岩体损伤破坏的分形研究[J].岩土力学，2011(10).

TU45 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5624（2018）02-0119-03