点电荷作用下的单摆运动初探

袁子龙

（成都七中嘉祥外国语学校 四川 成都 610000）

点电荷作用下的单摆运动初探

袁子龙

（成都七中嘉祥外国语学校 四川 成都 610000）

单摆是重力场中一种常见的周期性运动，从受力关系出发，研究单摆的摆动的本质规律，摆动的周期等物理量，可以反过来测定某地的重力加速度，研究单摆一般情况下，是对一定重量的小球的质点化近似，当小球的质量不在集中于一点时，单摆的运动会变得较为复杂，本文将提出这一物理现象并作出简单解释，同时，在电场中的单摆又有其特定的运动规律。这与电场力的特性有关。

单摆；重力场；周期性运动；质点化近似；电场力

1 单摆受力与弹性力的相似性

物体连接弹簧后，当离开平衡点存在一定位移x时，弹簧将施加在物体上一个与位移大小存在正比例关系的回复力，用公式来表示：

弹性力也是一个矢量，其方向由公式中的负号来表达，即力量总是是离开平衡点的物体产生回归到平衡点的趋势，在一定位移范围内，离开的幅度越大，这个作用力也越大，其结果是物体在该变力的作用下，在平衡位置做往复运动。

单摆是在重力场中可以经常观察到的一种物理现象，先假定摆线下的物体是一个质点，那么可以做出其受力分析图如图1。

图1 单摆在重力场中受力分析图

在图1中单摆摆球的受力是由重力和刚性轻质小绳的张力（T）的合力，前提是小绳的长度不变，因此摆球在轻绳的径向上没有位移，于是摆球在该方向上的合力为0，将重力沿着轻绳的径向，以及垂直于该径向两个方向分解，根据牛顿第二定律有：

而从几何意义上讲，由于刚性轻绳的非延展性，运动的轨迹将是以悬点为圆心，摆线长度为半径的圆周上的一段，其对应的圆心角大小取决于单摆摆幅的大小。同时，根据几何关系，该方向上的回复力的位移来源是重力的切向分量：

根据三角函数的性质有：

且当θ1＞θ2时，有：

通过观察几何关系，我们可以看出离开平衡点越远时，其回复力

即回复力随着摆动的幅度越大也越大。这个性质和物体受到弹性力时的受力情况类似，于是单摆的运动学形式，当摆动角度在一定范围内，满足小角近似时，可以看成是受到弹性力时物体的运动形式，这就是单摆往复运动的力学解释。

于是单摆的周期可以用简谐振动的周期公式进行近似：

而由运动学微分方程描述的精确的单摆运动公式为：

其中K是与摆角α有关的积分量，数学形式非常复杂，本文在此不再展开讨论，只是在此说明，真实的单摆的摆动周期，和摆动的角度时关联的，高中课本中的单板周期，只是在小角前提下的一个合理化的近似。

即真实的单摆的周期和用简谐运动近似的周期是有差异的，在角度很小时，这个近似时非常接近而十分合理的，因此单摆的往复运动，将其等效为简谐振动是有条件的，而在一般情况下，两者又有非常大的相似性，这是因为单摆在摆动角度很小时，其受力是非常近似于简谐振动的。

这和牛顿第二定律所描述的物理规律是一致的，即受力是物体产生加速度的原因，受力相同，初始状态相同的物理过程，其运动规律也必然相同。

当摆球的大小不能忽略时，由于其质量不等再等同于其质心，那么其运动的受力也与之前的推导不尽相同，而事实上，其摆动的方式与单摆有较大的区别，其摆动的形状更加复杂，同时需要考虑空气阻力，几何形状等许多因素，这是由于物体的相对质心并不恒定在某点上，而是随着运动的过程在变化，摆球在末端会产生颤动现象，由于颤动产生了转动惯量，在刚性轻绳的作用下，其径向的受力也发生了变化，于是其运动方程的求解不在局限于简谐运动，需要通过建模，利用微分方程来求解，本文在此不在深入。

2 点电荷电场中的电场线

点电荷也是对电荷集中程度的一种高度理想化近似，点电荷之间的受力方程为：

这个受力方程和万有引力定律的形式十分类似，他表明了电荷之间的作用力随着距离的增长而减弱，而随着距离的接近而成平方率增长，万物之间的引力，当将物体等价为质点后，质心之间的实际距离是引力大小的度量，引力也是距离增大而减小。

而实际上点电荷之间的这种称之为库仑力的作用力，是一种相当广泛存在的作用力，也是宇宙的四个基本的作用力之一，由于方程形式的相似，我们甚至可以比拟这四种作用力的大小，根据库伦常数的大小，万有引力常数的大小，它的强度甚至大于万有引力，这也就是为什么我们常常可以感觉得到电荷之间的作用力，却基本上感觉不到两座大山之间的引力的数学解释。

任意静止带电体之间的相互作用力都可以按照分解为点电荷的作用力之后求得合力。带电体可看作是多个点电荷构成的，后者就是点电荷的积分，根据力的叠加原理，电荷之间的库仑力也是同样满足力的矢量合成的。

点电荷的电场线，如果是单个的，其虚拟的场力线弥漫于真空之中，方向向四周均匀扩散，而当两个同种电荷接近后，其电场力线看起来像是经过了相互之间的挤压：

从电力线的这种对称的形式可以看出，其产生的作用力方向一定是在点电荷的连线的延长线上。这也是库仑力给出的关于方向的一个很清晰的说明。同理异种电荷之间的力也是在连线上，只是由其中的一个点电荷指向另一个点电荷，呈现一种互相吸引的趋势。电场力的这种对称性表明，在连线方向上合力不为零，在垂直于该方向上，合力为0。这就能较好的解释为什么库仑力的方向总是由点电荷的相互位置关系所决定。

3 单摆在电场中的运动探究

在前文中讨论了单摆的一般周期公式，以及进行近似的数学理由，和近似的物理意义。同时又回顾了电场的作用力的性质，现在我们有办法探究在电场力的作用下，对单摆的运动产生了哪些影响。以及从量化的角度，如何去评价这种影响。前提是电场力的大小不改变摆动时摆线的长度，使得单摆仍然在原来的一段圆弧上周期往复，这样就可以利用之前的这些方法和结论。

在本文中，在单摆的上方设置一个正点电荷，同时让摆球带正电荷，摆球将受到正电荷之间库仑力的斥力作用，其模型构成如图：

设正电荷离摆动中心的高度为h，摆线长度为R，点电荷连线与竖直方向的夹角为α，根据上图作出受力图，力的大小采用几何关系来分析，设摆线的轴心为O，悬点点电荷位置为C，摆球位置为B，在三角形OBC中运用正弦定理，在CB的连线上存在库仑力，库仑力在回复方向即切向的分量与重力在该方向的分量的矢量和，成为新的回复力，使得单摆在此环境下，在小角度时，也做类似的简写运动，因此几何关系的分析是解决这个场景的关键因素：

沿着摆线的方向，库仑力的分量与摆线提供的张紧力平衡，于是该分力对运动没有贡献。

根据正弦定理有如下关系成立：

以上关系是从三角形的正弦定理出发，通过边与对角的数学关系，可以获得α的大小，由h和θ两个量来决定。

库仑力与运动切线方向的夹角为：

于是回复方向上的库仑力分量为：

其中k为库伦常数，Q1，Q2代表两个点电荷的带电量，即库仑力在切线方向的分力大小，方向为指向A点。

回复的合力为

将上式两边同时除以Msinθ，可以得到等价于一般情况下的对应于g的表达式，即等效的重力场中的重力加速度为：

于是此条件下的单摆的摆动周期为：

从以上的推导可以看出，当摆球的位置恰好在O点时，

这说明，在这个特殊位置，由于电场力的从圆心向周围出发的特征，电场线在摆线运动的切线上没有力的分量，库仑力全部沿着摆线的方向，被摆线的反作用力抵消，对运动的周期规律没有影响，而当电荷离开此处，在其他任意位置时，库仑力都有眼运动切线方向的分量，这个分量和重力一起，构成里回复力，正电荷是，这种等效的重力加速度被加强，而异种电荷时，这种等效的重力加速度被削弱，但是依靠等效的重力加速度的这种分析方法，是相同的。

4 结语

本文从研究单摆和简谐振动的关联关系出发，比较了两种情况下受力的相似点，建立了受力模型，分析了受力导致的往复运动，并且通过小角近似，将摆角不大的单摆，近似在简谐振动条件下对运动周期求解，表明在摆线长度一定时，运动周期只与当地的重力加速度有关，在此基础上，提出了小角近似只是一种近似方法，单摆的真实周期的计算，特别是在摆角增大到一定程度后，其周期公式的推导要考虑物体的大小，以及质量分布等具体情况，其表达形式较为复杂。非质点的摆球将在小范围内颤动，即产生了复摆。

在此基础上，引入了静电场进行模型的加强，研究了在同种电荷之间的库伦力作用下，电荷间的斥力对单摆的运动周期形成的影响，通过对几何关系进行分析，结合正弦定理等数学方法，将库仑力进行正交分解，把该场景下的受力等效到一般情形，利用一般情形下的单摆周期公式进行比拟，求出了电荷存在时单摆的周期公式，并且对公式进行了分析。

通过以上的推导，可以看出单摆的运动周期，可以关注在运动切线方向的合力，该合力就是回复力的来源，决定了单摆的周期。

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V212 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5624（2018）02-0100-03