交流电路时变电学特性探究

舒牧葳

（成都七中嘉祥外国语学校 四川 成都 610000）

交流电路时变电学特性探究

舒牧葳

（成都七中嘉祥外国语学校 四川 成都 610000）

在直流电路中,研究了电感和电容作为理想元件时,稳态电压电流的情形,在交流电路中,如果考虑到电感作为感性元件,其电流不能突然变化,而电容两端的电压也不能跃变,那么在电路开工作的初始态,将会表现出和一般直流电路完全不同的电学特性,并且最终电路将稳定工作在某一状态,本文将探究电路加电后随时间变化的电路特性,结合微分方程等数学工具进行解释。

交流电；跃变；初始态；电学特性；时变；微分方程

1 电路分析方法

欧姆定律给出了相对简单的电阻电路，结合基尔霍夫定律，可以应用这两种基本方法分析所有的电路，但是当电路结构更加复杂，设计更多的电路元件时，似乎我们的洞察力减弱了，使用直接的办法变得麻烦，首先回顾一下简单的电阻电路，其中我们使用分压法和分流法求解，然后又推导了电阻串联和并联的特性。从中可以注意到，流入任意一个电路节点的电流和流出该节点的电流相等，而任意两点之间连接的各支路之间的电势差也相等。

电压和电流也服从叠加原理，有了以上这些工具，在稳恒电流中不需要考虑电压电流的变化，这些工具已经够用了，进入到交流电路，电路回路中连接了电感电容，电路随时间的响应就不那么简单和直观，需要借助一定的数学工具进行分析。

2 电路元件电学特性及数学模型

电路中有电阻，电容、电感等常用元件，在理想状态下，稳态时电容与电感呈现了与电阻不同的非线性特性，而在电流电压瞬变时，电感会抵抗电流的变化，而电容会抵抗电压的变化。电感的端电压是与电感中电流随时间的变化率成比例的。用数学公式表示为：

这个公式说明，电流稳定时，即当电流是常数时，理想电感两端的电压为0，其次，电感中的电流不能跃变，即电流在0时间内不能改变其大小。

电容则变现出于电感相异的特性，首先电容两端的电压不能跃变，电容的微分特性为：

从上式可以看出，跃变对应的电流为无穷大，这在实际中是不可能发生的，其次，当电压维持不变时，电容的电流为0。

根据积分公式可知，对于电感有：

同样的对于电容有：

有了以上的基础，可以推论当电感串联时，通过电感的电流相同，但每个电感上的电压不同，而和电感量有关，总的电压是单个电感电压的总和，而当电感并联时，由于电感两端的电压都相等，电流则是电感电流之和，于是并联电感的等效电感量为：

同理，电容串联的等效电容为：

以上公式揭示了电感电容不同于纯电阻的电学特性，表明交流电路结合LC形成的回路，回路中的电流电压有较为丰富的相位关系，与稳恒电流的情况有较大的不同，以下主要采用微分方程这一数学工具，对电路特性进行探究。

3 RL电路及RC电路微分特性

考虑电路回路的多样性，有纯阻性元件和感性元件的回路，以及纯阻性元件和容性元件的回路，当电压源瞬间接通时，由于感性或者容性元件不能跃变的性质，在回路接通后，电感电容要阻碍原来的变化，电路的电特性和有一个快速变化的瞬态过程，并将最终趋向于稳定。探究电路启动后一段短暂的时间内的回路特性，有助于深刻理解电路实际工作的复杂性。以下按照RL电路，RC电路，RLC的电路逐渐深入。其中电源都考虑正弦交流电源。

4 RL电路数学模型

理想的正弦电压源与R、L串联，设理想电压源的电压特性为U=U0sinωt：

图1 RL电路理论模型

该回路接通后满足回路基尔霍夫定律：

这是一阶微分方程，解之得∶

其中C为常数，该完全解给出了电流的数学表达式，可以看出电流是时间的函数，在任意时刻均成立，又在初始状态时，电流为0，于是：

代入得：

这个系数和R、ω、L均有关。

电流最终将趋向于稳态周期函数。电流的周期趋向于和电源的周期一致，相位上有一定的差别。

5 RC电路数学模型

理想的正弦电压源与R、C串联，设理想电压源的电压特性为U=U0sinωt，电容带电量为Q。

图2 RC电路理论模型

式中的第三项最终趋近于0，表明电路经过一段时间的振荡后，渐渐趋于稳定。此表达式为稳定时的电流。根据三角函数性质，该电流形式的周期和电源的周期一致，相位上有一定的差别。

RC电路的解的形式和RL是类似的，都包含了三项，三项一起称为电路的完全解，前两项是周期函数，属于一种稳定的震荡，第三项从数学形式上接近，但常数不同，分别是L/R与RC，这个常数称之为时间常数。

时间常数反应了这个暂态响应的时间长度。即电流或者电压趋于0的速度。这个速率的倒数就是电路的时间常数，对于一阶电路，是电流减到其初始值的e-1倍的时间。对于不同分R、L、C的取值，电路的时间常数的数值都不相同，即每个不同的实际电路，它从回路接通后开始看暂态过程，从开始振荡到逐渐趋于稳定的趋势虽然性质相仿，但从时间轴上看，有的相对快一些，有的要相对缓慢。

6 RLC电路数学模型

以下考虑最为复杂的一种电路，LC并联回路，连接关系如图3所示。

图3 RLC电路理论模型

该回路接通后满足回路基尔霍夫定律：

解上微分方程得：其中C1为常数，为了与RL电路中的常数C区分。该完全解给出了电流的数学表达式，可以看出电流是时间的函数，在任意时刻均成立，初始状态时，t=0，Q=0，

理想的正弦电压源与R串联、与L、C并联，设流经RL上的电流为I，流经L上的电流为iL，流经C上的电流为iC，根据电流的分流原则有：

按照前文中关于电感电容的数学模型可知：

由于电感电容上的电压相等，于是存在以下关系：

将上述方程联立即：

这是一个二阶的微分方程，直接求解该二阶微分方程比较复杂，表明其暂态过程非常复杂，为简化模型，本文只考虑稳定时的情形。

因为LC并联，所以LC上分得的电压相等，且相位相同，又因为R与LC串联，因此流过R上的电流等于流过LC上的电流之和。以下根据电感上的电压超前电流π/2相位，电容上的电压落后电流π/2相位。通过相位关系可以画出形如图4的矢量关系图，类似于力的合成，本文采用矢量合成方法求解。

图4 电压电流矢量关系图

根据电路模型，对应图中：

所以相位关系为：

当电源电压为正弦电压U0sinωt时，可解得：

二阶微分方程的复杂程度超过了本文的讨论范围，故本文的求解没有直接用数学方法去解，当我们注意到了电感和电容电流和电压的相位超前之后，利用相位之间的确定关系，用几何法，只需要经过简单的计算，就可以了解到该电路的工作具体初始状态，该方法跳出了纯粹的复杂的数学运算，比较清晰的揭示了RLC电路中电流电压的相互关系。给出了解决LC并联电路的一种新方法。

从以上三个部分的讨论可见，当交流电压源突然作用时，电路中会有一段对抗变化的过程，这个过程的最终结果是在相对大幅的振荡后逐渐趋于稳定，类似于直流电压源的情形，交流电压源电路中，分析方法是相同的，考虑到电压源的周期性，趋于稳态后的电路响应，也有数学形式上的相似性，在存在一定相位差的前提下，正弦的电压源激发了正弦的响应，即源的性质决定了元件响应的性质，暂态过程有类似的形式，和具体的电路形式关联度相对较小。

7 结语

本文从电感电容的电路理论模型出发，先引用了其微分特性，给出了其数学的微分方程，然后分层次，从RL电路，再到RC电路，最后研究了RLC电路，给出了解决这类电路问题的普遍分析方法，即首先根据电路的回路连接关系，通过基尔霍夫定律写出回路方程，该方程是微分方程，只有电感或者只有电容时是一阶方程，同时存在两种元件时，是二阶方程，按照微分方程的求解，然后对结果给出物理解释。

RL电路以及RC电路的微分方程解中，含有指数函数，按照该指数函数的规律，这一项将随着时间逐渐衰减至0，表明电路中存在一种暂态过程，其影响程度随时间迅速减弱，解的另一部分是振幅与时间无关的项，表明电路最终趋向与一个稳定的状态，此时的电流称为稳态电流，它的振荡周期与施加的电源周期相同，而存在一定的相位差。

RLC电路的情况则比以上两者更为复杂，因为从求解微分方程的角度，二阶微分方程的解的形式比较复杂，从电路形式来说，LC电路上的电压并不能稳定在某一常数，通过借鉴矢量合成方法，用向量表示电流电压，可以比较清晰的揭示电路的物理意义，解算过程也相对简洁。该方法称为向量法，向量法在研究交流电路，进行交流电流和电压的分析求解时，相比传统的数学方法，有很强的优势。

通过进一步的研究二阶微分方程的求解方法，可以对RLC电路给出更普遍的数学公式，是本文的下一步工作。

[1]布达克.电路理论基础及应用[M].科学出版社，1985.

[2]E.卡姆克.常微分方程手册[J].1977.

[3]冯向莉.基于交流电路中平均值与有效值的分析[J].现代电子技术，2005，28(23)：104-105.

[4]朱华光，朱玮玮.RLC串联谐振电路的实验研究[J].现代电子技术，2010，33(21)：199-202.

[5]颜福才.按键消抖电路瞬态分析和设计[J].现代电子技术，2014(6):51-55.

TM13 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5624（2018）02-0108-03