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三角代换积分法教学体会

2018-01-01张奕河

科学与财富 2017年30期
关键词:积分法换元

张奕河

摘 要: 针对学生在学习第二换元积分法中的三角代换法遇到的困难,本人在教学中,从学生比较熟悉的直角三角形入手,先构造辅助直角三角形来破解这一难点,化难为易,便于学生理解和掌握。从教学效果来看实用且有效。

关键词: 换元;积分法;三角代换

换元积分法中的三角代换是积分学的难点,由于高中阶段对同角三角函数关系等知识要求的削弱,大多数学生反映难以理解和掌握,感觉无从下手。让数学基础不好的高职学生记住三种根式对应的换元绝非易事,很多同学一开始就选择“知难而退”,作业靠抄袭应付。针对学生学习遇到的问题,本人在教学中,从学生比较熟悉的直角三角形入手,先构造辅助直角三角形来破解这一难点,化难为易。从教学效果来看有效且实用。

一、构造辅助直角三角形的方法、步骤。

1、以 为三边构造直角三角形,若x为直角边,则角t的对边选x,若x不是直角边,则角t的对边也要选含x(即 )。

2、利用辅助直角三角形可以得出 的三角函数式和 的三角函数式,从而得出换元的表达式和去根式的结果。

二、应用举例

例1 求 。

解:由知 ,x和 为直角三角形的直角边,2为斜边,构造如图1所示的直角三角形,由图知

例2 求 。

解:由知 ,3和 为直角三角形的直角边,x为斜边,构造如图2所示的直角三角形,由图知

由辅助直角三角形,可以直接得出被积函数

于是

例3 求 。

解:由知 ,x和a为直角三角形的直角边, 为斜边,构造如图3所示的直角三角形,由图知

由辅助直角三角形,可以直接得出被积函数

于是

归纳、总结可以发现当换元表达式为x=a sec t,则根式化简后为a tan t。反之,当换元表达式为x=a tan t,则根式化简后为a sec t。

三、小结

积分学是求导、求微分的逆运算,比较抽象和复杂,而三角代换换元积分法又是难中难,学生在学习这一部分内容感觉阻力大,有畏惧感。通过先构造辅助直角三角形,让学生比较直观理解和掌握換元的思路,找到解题的门路,使学生能独立完成练习和作业,让学生有收获感,激发学生学习乐趣,提高学习能力。endprint

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