三角代换积分法教学体会

张奕河

摘 要： 针对学生在学习第二换元积分法中的三角代换法遇到的困难，本人在教学中，从学生比较熟悉的直角三角形入手，先构造辅助直角三角形来破解这一难点，化难为易，便于学生理解和掌握。从教学效果来看实用且有效。

关键词： 换元；积分法；三角代换

换元积分法中的三角代换是积分学的难点，由于高中阶段对同角三角函数关系等知识要求的削弱，大多数学生反映难以理解和掌握，感觉无从下手。让数学基础不好的高职学生记住三种根式对应的换元绝非易事，很多同学一开始就选择“知难而退”，作业靠抄袭应付。针对学生学习遇到的问题，本人在教学中，从学生比较熟悉的直角三角形入手，先构造辅助直角三角形来破解这一难点，化难为易。从教学效果来看有效且实用。

一、构造辅助直角三角形的方法、步骤。

1、以 为三边构造直角三角形，若x为直角边，则角t的对边选x，若x不是直角边，则角t的对边也要选含x（即 ）。

2、利用辅助直角三角形可以得出 的三角函数式和 的三角函数式，从而得出换元的表达式和去根式的结果。

二、应用举例

例1 求 。

解：由知 ，x和 为直角三角形的直角边，2为斜边，构造如图1所示的直角三角形，由图知

例2 求 。

解：由知 ，3和 为直角三角形的直角边，x为斜边，构造如图2所示的直角三角形，由图知

由辅助直角三角形，可以直接得出被积函数

于是

例3 求 。

解：由知 ，x和a为直角三角形的直角边， 为斜边，构造如图3所示的直角三角形，由图知

由辅助直角三角形，可以直接得出被积函数

于是

归纳、总结可以发现当换元表达式为x=a sec t，则根式化简后为a tan t。反之，当换元表达式为x=a tan t，则根式化简后为a sec t。

三、小结

积分学是求导、求微分的逆运算，比较抽象和复杂，而三角代换换元积分法又是难中难，学生在学习这一部分内容感觉阻力大，有畏惧感。通过先构造辅助直角三角形，让学生比较直观理解和掌握換元的思路，找到解题的门路，使学生能独立完成练习和作业，让学生有收获感，激发学生学习乐趣，提高学习能力。endprint