高等数学中的概念教学探究

王正卫

摘 要： 文章以定积分概念教学为例，从明确预备知识的重要性、循序渐进充分挖掘学生的潜力、抓住概念的本质分解难点、总结应用巩固认知结构等方面，研究高等数学中的概念教学策略，以提高学生的学习兴趣和学习效果。

关键词：高等数学；概念教学；定积分；教学活动

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2017）34-0019-01

数学概念是高等数学的基石，没有它，便无法构筑高等数学的理论体系。在高等数学教学中，部分教师有时省略概念的引入，直接下定义，这样会使学生对数学概念的理解停留在表面，一知半解，影响后续课程的学习。本文以定积分概念教学为例，研究高等数学中的概念教学策略。

一、明确预备知识的重要性

定积分是高等数学的重要概念之一，概念本身体现了微积分的基本思想极限思想。教师若引入得当，预备知识准备充分，可以高效地帮助学生建立新的认知体系。定积分的理论基础是极限，包括极限的定义、极限的唯一性等。定积分概念的本质就是Riemann和的极限，即 f（x）dx= f（ξi）Δxi。下面，比较两者的定义。定义1 （函数极限的ε-δ定义） ：设函数f在点x0的某个空心邻域U0（x0，δ'）内有定义，Α为定数。若對任给的ε>0存在正数δ（<δ'），使得当0<|x-x0|<δ时有|f（x）-Α|<ε，则称函数f当x趋于x0时以Α为极限，记作 f（x）=Α。定义2 （定积分的定义）：设f是定义在[a，b]上的一个函数，J是一个确定的实数。若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a，b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集{ξi}，只要‖T‖<δ，就有 f（ξi）Δxi-J<ε，则称函数f在区间[a，b]上可积或黎曼可积，数J称为f在[a，b]上的定积分或黎曼积分，记作J= f（x）dx。可以看到，定积分定义与极限ε-δ的定义有很大相似性。在授课过程中，教师要注意新旧知识之间的内在联系，注重引导学生复习与之相关的旧知识，减少学生学习时的困难。

二、循序渐进，充分挖掘学生的潜力

在高等数学教学过程中，教师要重视概念引入教学，循序渐进地提高学生的认知能力。下面，介绍两个经典的引例：一是曲边梯形面积问题，另一个是变速运动路程。第一个引例，教师可以遵循“以直代曲”“有限逼近无限”的极限思想，教学时主要采用以下四个步骤。1）分割。在区间[a，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x0

三、抓住概念的本质，分解难点

定积分概念的建立，重点在于极限思想的应用。首先，通过求和的极限的四个步骤，我们发现不同的问题采用同样的求解方法和过程，最终得到相同的极限表示，这个极限定义为定积分。其次，有限分割的和只能求近似值，而无限分割的和的极限能求得精确值。这也是学习定积分概念的价值所在，能为后续定积分的应用打下基础。对比导数定义的建立，也是极限思想的应用，其思想方法上是一致的。要特别强调，对于‖T‖→0所表示的极限过程，不能随便改成n→∞，但不同的分割却可以表示相同的意义。这一点，教师可通过举例予以说明。

四、总结应用，巩固认知结构

及时组织学生进行练习，是理解和巩固所学概念的重要环节。“分割、近似、求和、取极限”的数学解题步骤，不仅能让学生巩固理论知识，而且能让学生发现解决问题的方法，在理论联系实际的过程中体会定积分的应用价值。在高等教学过程中，教师可以引导学生去解决一些更为抽象复杂的数学问题，使学生刚建立的概念与已有的知识不断融合，形成新的认知结构。

五、结束语

总之，概念教学是高等数学教学活动的重要组成部分。教师要根据学生的实际情况有针对性地备课，认真研究高等数学中的概念教学策略，提高学生的学习兴趣和学习效果。

参考文献：

[1]毛京中. 高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报，2003（12）.

[2]陈国玉，肖金艳.浅谈定积分概念教学的设计[J].巢湖学院学报，2003（15）.