运用数学方法求解极值问题

杜园园��

摘要：任何物理题的求解过程都是在解决一个数学问题，在解题过程中数学和物理相辅相成，适当运用好这两个方法是解题的基础所在。所谓数学方法就是将客观状态、过程以及关系用数学表达式表达出来。本文介绍用不同的数学极值法求物理问题。

关键词：数学方法；极值；高中物理

在中学物理学习阶段，学生要有用数学方法处理物理问题的能力，在求解过程中，将物理问题转化为数学问题，再经过对问题的论证、推导、判断，通过极值法、归纳法或者求导等数学方法解出最后结果，本文就是举例来说明如何运用数学的极值法来解决物理问题的。

一、 三角函数求极值，灵活又多变

三角函数是高中数学的重要组成部分，而它的应用也是渗透到数学的各个层次中，它的内涵即利用三角形的角和边的关系来求解，很多时候三角函数的灵活运用可以让数学问题简化，物理中引用这个方法可谓新颖而独特，希望同学能够掌握。

例1如图所示，质量M=20 kg的物体水平放置在地面上方，假设地面与该物体之间的摩擦系数为μ=33，该物体在力F作用下向右做匀速直线运动，力F与水平夹角为α，现求这个作用力F至少需要多大？

解析：物体受力分析如图所示，因为物体做匀速直线运动，所以物理受力呈平衡状态，理所受的合外力为零，由此可得：Fx=Fcosα-f=0，Fy=N+Fsinα-Mg=0。由以上两个式子可得：F=μMgcosα+μsinα，要使得力F最小，则需要cosα+μsinα有最大值。cosα+μsinα=1+μ2（11+μ2cosα+μ1+μ2sinα），令tanβ=μ，cosα+μsinα=1+μ2cos（α-β），当α=β时，cos（α-β）最大值等于1。所以：Fmin=μMg1+μ2=33Mg99+39=33129Mg=12Mg。

点拨：本题是典型的数学三角函数在物理解析中的应用，例题当中应用的是“积化和差”方法，然后又利用函数的单调性特点，得出了拉力的最小值。这种计算方法使得判断过程简化，思路清晰，计算更快速准确。值得推广到物理计算当中。

二、 不等式求极值，简单又实用

例2如图所示，轻绳的一段固定，另一端系一钢球，如果拉起钢球呈水平状态，在静止状态下突然释放，在钢球到达竖直状态之前，小球在何处所受重力的瞬时功率最大？

解析：假设当钢球运行过程中，与竖直呈θ角到达C点，受力分析得α、β角度关系如图所示，此时重力瞬时功率为：P=mgvcosα=mavsinθ。小球从水平位置到达C时根据能量守恒可以得到式子：P=mg2gLcosθsin2θ，令y=cosθsin2θ=12（2cos2θsin4θ）=12（2cos2θ·sin2θ·sin2θ），2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2，根据基本不等式a+b+c≥abc，当2cos2θ=sin2θ时y有最大值。由2cos2θ=1-cos2θ得cosθ=33，y及功率P有最大值。

点拨：同一个问题在数学领域有很多种不同的解法，数学当中有很多基础等式，或者不等式，都可以拿来直接运用。像题目当中的数学基础不等式就是其中之一，如果熟悉数学的基础知识，有灵活的解题思想，在物理计算当中，便可以多方联系，选择最合适的方法。

三、 导数求极值，快刀斩乱麻

在数学中导数是重点，也是难点。但是导数是一把双刃剑，利用的好可以轻松化繁为简，能大大降低计算的难度和计算量，可谓快刀斩乱麻。在大学的高等数学階段更是核心知识。所以中学阶段学习导数的应用也很有必要，在这里为同学介绍导数在物理当中的妙用。

例3质量为m的物体与地面之间的摩擦因数为μ，在力F的作用下做匀速直线运动，力F与水平夹角为θ，求夹角θ为多大时候力F最小，最小值为多少。

解析：对物体受力分析可得：Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）=0，得F=μmgμsinθ+cosθ，所以μsinθ+cosθ>0，令y=μsinθ+cosθ求导得：y′=μcosθ-sinθ，当y′=0，即tanθ=μ时，y有最大值。此时拉力F最小值为：Fmin=μmg1+μ2。

点拨：本例题当中这道求最小值的问题，就成功的用数学中导数求极值的思想完美解决了。而且解决方法简洁，计算量比较小。在受力分析之后列出等式就转化为数学问题了，此时同学需要转换思维，结合数学用导数求极值的方法，复杂的难题变得一片明朗。

综合上述的例题的三种方法，运用数学方法解决物理极值问题的思路已经比较明确，接下来就需要学生做好基础工作，千层高楼必须有牢固的地基，所以解决复杂问题的能力都是建立在夯实知识的基础上，本文希望能够抛砖引玉，以便开阔学生思维，提高学生解题的综合能力。

参考文献：

[1] 单华文.例析物理极值问题解答方法[J].中学教学参考，2010（08）.

[2] 张睿，刘林.用求导的方法解物理极值问题[J].湖南中学物理，2010（09）.endprint