广义典型流形上连续小波变换的性质

周小辉 顾桂定王刚

(1.上海财经大学数学学院,上海 200433;2.浙江财经大学东方学院,浙江 嘉兴 314408;3.新疆师范大学数学科学学院,新疆 乌鲁木齐 830054)

广义典型流形上连续小波变换的性质

周小辉1,2, 顾桂定1,王刚3

(1.上海财经大学数学学院,上海 200433;2.浙江财经大学东方学院,浙江 嘉兴 314408;3.新疆师范大学数学科学学院,新疆 乌鲁木齐 830054)

研究广义典型流形M上小波变换的性质,根据广义典型流形M的结构特征与广义典型流形M上连续小波变换的定义,讨论了广义典型流形M上的连续小波变换的重构公式,线性性质,伸缩平移性等,讨论了广义典型流形M上小波变换的性质.最后,给出了连续小波ψ的卷积公式.

广义典型流形;连续小波变换;一般线性群GL(V)

1 引言

近年来,很多学者对小波分析的发展都做出了许多突出的贡献.应用范围不断扩展,理论层次不断提高[1-18].值得注意的是,在许多领域,“流形上小波”的研究已经成为一个研究方向和研究趋势.许多学者试图基于“平直空间”的小波分析理论去建立与发展流形上的小波分析[13,18].人们所研究的流形上的小波理论已经牵涉到各种各样的光滑流形,例如,双叶双曲面,抛物面[12-13,18]或是其他二维光滑流形;还有一些抽象流形[16-17].流形上小波的研究不论是局部的还是整体的,这些成果都是有意义的.研究某些流行上的小波理论,人们常常采用以下一些方法,例如,基于一些“好”的性质的投影（保面积投影,径向投影,球极平面投影）将传统的小波理论提升到流形M上,或者基于某些流形具备良好的结构与性质来讨论小波分析.本文在流形上的小波理论方面也做了一些工作,包括一些光滑曲面和抽象流形,例如,旋转类光滑曲面,某些可展曲面[18],广义典型流形[17]等等.

本文将专注于讨论广义典型流形M上的连续小波变换的性质,如,重构公式,线性性质,伸缩平移性等等.

2 预备知识

为了讨论广义典型流形M上小波分析,首先给出广义典型流形的定义,进一步给出相应的小波理论.下面,逐步给出与广义典型流形和小波理论相关的若干定义.

定义 2.1[3,17]如果在F域上一个向量空间V中所有可逆线性变换在乘法运算下构成一个群,那么这个群称为一般线性群,记作GL(V).

例如,酉群、正交群,这类群称为典型群.关于典型群的概念,可以参见文献[4,7].一个流形结合典型群的结构,便生成了典型流形.

定义 2.2[4](典型流形)假设M是一个微分流形,且M是一个可逆典型群G.如果存在从乘积流形G×G到G的映射,即

且从G到G的映射,即

是C∞,那么称微分流形M和典型群G是一致的(相容的),当微分流形M=G的流形结构与群结构是一致的(相容的),我们称M(G)是典型流形.

下面有必要给出拓扑群上Fourier变换的一些符号和性质.

定义2.3[5-6]设G是一个局部紧的可换的Hausdorff拓扑群.且ˆG是其对偶群,χ∈ˆG是G的一个连续特征,µ是G上的Haar测度.∀f∈L1(G),定义f的Fourier变换如下：

其中f1∗f2表示G上函数f1和f2的卷积.在定义3.1中,给出了卷积的定义,同时在定理3.4中验证了性质(2).

引理2.1[17]设P是在空间

中由正定函数生成的子空间,则存在逆变换公式：

引理 2.2[17]设f,g∈L2(G)则有

从引理2.2中,可以得到Hilbert空间L2(G)的内积的定义,以及一个重要等式.同时根据Hilbert空间L2(G)的内积及Cauchy-Schwarz不等式,则有

定义 2.4[17](广义典型流形或拓扑域流形) 假设M是一个微分流形,且M也是一个拓扑域G.微分流形M=G与拓扑域G=M是一致的(相容的).如果关于流形G的C∞结构的加法与乘法运算都是C∞的,我们称拓扑域M是拓扑域流形(TF-流形或广义典型流形).

关于广义典型流形的实例可参见文献[14].

定义 2.5[17]假设G是一个域,局部紧拓扑群(G,+)上右Haar测度用µ来表示,E是G的可测子集,且令

设Δ(a)是G上的非负连续函数.如果∀a∈G,有

那么µ称为域G上的Haar测度,且Δ(a)称为局部紧拓扑群(G,+)上右模函数.

定义2.6[17]对于

定义函数f的连续小波变换为:

在ˆG上对G的作用,我们定义为:如果a∈G,χ∈ˆG,在χ上对a的作用定义为a·χ∈ˆG,(a·χ)(x)=χ(ax),a,x∈G.特别地,

3 广义典型流形上连续小波变换的性质

在文献[17]中,通过计算ψ(ax−b)的Fourier变换,得到

进一步给出了下面引理.

引理3.1[17]如果

是一个有限常数N,那么

通过计算,

可得下面的定理：

定理3.1如果

是一个有限的常数N,小波变换的逆变换(重构公式)是

小波函数的性质对于连续小波变换是非常重要的[12].然而,广义典型流形上的连续小波同样继承传统小波的线性性质,伸缩和平移性质.相关的定理给出如下：

定理 3.2[5]假设,那么

证明根据广义典型流形上连续小波变换的定义,即(1)式可知,

这就证明了线性性质1).类似的可以证明平移性质2)和伸缩性质3).

定理 3.3假设f,g,ϕ,ψ∈[L1(G)∩L2(G)∩P],α,β ∈R,ς∈G,那么

其中平移算子

伸缩算子

证明

类似地,可以证明其他等式.

定义 3.1假设f,g∈L2(G),x,y∈G,在G上函数f和g的卷积定义如下：

定理 3.4[5]假设f,g∈L2(G),x,y∈G,在G上函数f和g的卷积满足下面的等式：

证明根据Fourier变换的定义,

因此,G上函数f的小波变换可以看成是函数f与的卷积,即

其中a,b∈G.

定理3.5假设

是一个有限常数N,ψ∈L2(G),且ϕ在广义典型流形G上是有界的且可积的,那么ψ∗ϕ∈L2(G)且

也是一个有限的常数.

证明因为ψ∈L2(G),ϕ是有界的且可积的,那么

则ψ∗ϕ∈L2(G).进一步,

定理得证.

4 结论

根据广义典型流形M的独特结构,我们可以定义M上的连续小波变换且存在相应的逆变换(重构公式).进一步,在广义典型流形M上的连续小波变换关于函数与小波都保持了线性性质,平移性质和伸缩性质.流形M上函数f的连续小波变换可以看成是函数f与

的卷积.所有这些结论对于我们后期进一步研究相应的离散情形提供了参考.同时,建立相应的应用算法将是一个值得考虑的研究问题.

[1]Daubechies I.Orthonomal basis of compactly supported wavelet[J].Comm.Pure and Appl.Math.,1998,41(7):909-996.

[2]Xu,Mingyao,etc.Introduction to fi nite group II[M].Peking:Science Press,2001.

[3]Lu Qikeng.Canonical manifold and classical domain[M].Shanghai:Shanghai Science and Technology Press,1963.

[4]Su Weiyi.Introduction to Modern Analysis[M].Peking:Peking university Press,2000.

[5]Rudin W.Fourier Analysis on Groups[M].Inter science,1967.

[6]Li Jinghui,Feng Xuning.Introduction to Topological Groups[M].Peking:Science Press,1999.

[7]Higgins P J.Introduction to Topological Groups[M].Cambridge:Cambridge University Press,1974.

[8]Montgomery D,Zippin L.Topolodical Transformation Groups[M].New York:Interscience Publishers,1995.

[9]Schaefer H H.Topological Vector Spaces[M].Berlin:Springer,1980.

[10]Helgason,S.Differential Geometry,Lie Groups and Symmetric Spaces[M]New York:Acad.Press,1978.

[11]Antoine P,Bogdanova I,Vandergheynst P.The continuous wavelet transform on conic sections[J].Int.J.Wavelets,Multiresolut.Inf.Process,2008,6:137-156.

[12]Antoine J P,Rosca D,Vandergheynst P.Wavelet transform on manifolds:Old and new approaches[J].Appl.Comput.Harmonic Anal.2010,28:189-202.

[13]Rosca D.On a norm equivalence on L2(S2)[J].Results Math.,2009,53:399-405.

[14]周小辉,王刚,王宝勤.广义典型流形的实例构作[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(2):176-181.

[15]Wang Baoqin,Wang Gang,Zhou Xiaohui.A local wavelet transform on the torus T2[J].International Journal of Wavelets,Multiresolution and Information Processing,2015,13(4):1-5.

[15]Wang Baoqin,Wang Gang,Fu Yuexia,etal.The Mallat Algorithm for a class of orthogonal wavelet on compact Lie groups[C].Proceeding of 2009 ICWAPR,2009,2009:413-416.

[17]Wang Baoqin,Wang Gang,Yuan Lixia,etal.The wavelet transform and reconstruction formula on the generalized canonical manifold[C].proceedings of 2011 International Conference on wavelet analysis and Pattern Recognition(ISBN 978-1-4577-0280-8)(IEEE Catalog Number:CFD119C-PRT.

[18]Wang Baoqin,Wang Gang,Zhou Xiaohui,et al.Wavelet analysis on developable surface on area-preserving projection[J].Int.J.Wavelets Multiresolut Inf.Process.2015,13(1):1550007.

The properties of the continuous wavelet on the generalized canonical

Zhou Xiaohui1,2,Gu Guiding1,Wang Gang3

(1.School of mathematics,Shanghai University of Finance and Economics,Shanghai200433,China;2.Zhejiang University of Finance and Economics Dongfang College,Jiaxing 314408,China;3.School of mathematics science,Xinjiang Normal University,Urumqi 830054,China)

Some properties of the continuous wavelet on generalized canonical manifoldMwill be discussed in this paper.It is based on the structure of the generalized canonical manifoldMand the de fi nition of the continuous wavelet transform on generalized canonical manifold.It can be done that the linear property,translation property and dilation property of the continuous wavelet transform have been discussed on generalized canonical manifold.According to the properties of the generalized canonical manifoldM,the continuous wavelet onMcan be de fi ned,and some properties of the continuous wavelet on generalized canonical manifoldMsuch as the linear property,translation property and dilation property will be discussed in this paper.Finally the convolution formula of the continuous waveletψwill be given.

generalized canonical manifold,the continuous wavelet,general linear group GL(V)

2010 MSC:42C40,65T60

O189.3;O174

A

1008-5513(2017)06-0644-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.010

2017-10-05.

国家自然科学基金(11371105,11671246);浙江财经大学东方学院教学科研课题(2017JK05).

周小辉(1986-),博士生,讲师,研究方向：小波分析及其应用.