体现立德树人 突出数学思维——2017年四川省高职单招数学试题分析

王 婷

(四川省教育考试院 610041)

联合国教科文组织(UNESCO)在1997年3月推出的“国际教育标准分类”中将高等职业教育与普通高等教育并列划分[1]．高等职业教育不是从属于普通高等教育的更低层次的组成部分，而是一种独立存在的教育类型．高等职业教育与普通高等教育不同的培养目标从根本上决定了它们在选拔方式、培养目标以及学习内容等方面存在明显差异．

自2008年起，四川省开始开展高职单招考试．通过单独考试、单独录取的方式，选拔一些对某方面有特别爱好，愿意在某个专业、职业领域长远发展，且动手能力、实践能力较强的学生进入高职院校进一步学习．普高生和中职生均可参加高职单招考试，一旦被参加测试的高职院校录取的学生，无需再参加当年的高考．

2014年国务院颁布的《关于深化考试招生制度改革的实施意见》指出，“加快推进高职院校分类考试”，“2015年通过分类考试录取的学生占高职院校招生总数的一半左右，2017年成为主渠道”[2]．分类考试是将高职院校招生考试与普通高校招生考试分开的一种选拔性考试，能够快速推进高职院校考试招生制度改革，满足适应经济社会发展对高素质劳动者和技术技能型人才培养的需要，也有利于高职院校选拔人才．

为进一步有效地规范高职院校的招生考试，体现考试的公平公正，2015年以来，四川省实行全省统一的高职院校单独招生文化考试，由省考试院统一命制文化试题；综合测试由学校自主命题，部分专业实行职业技能考试．2017年全省开展单招的高职院校已由最初的2所增至53所，其中省内院校50所，省外院校3所；计划招生78800名，同比增加38969名，增幅97.8%．2017年参加高职单招报名的人数首次突破10万，为118995人(其中普通高中类82482人，中职类36513人)，同比增加28703人，增幅31.79%，报名人数已超过2017年高考总报名人数(58.28万)的1/5．在这样的形势下，高职单招考试的社会关注度越来越高，对其试题进行分析和研究具有一定的意义和价值．

四川省高职单招考试是全国普通高考的组成部分，是四川省今后实施春季高考改革的有益探索，但目前对中职类高考的研究几乎是一片空白．近年来，四川省高职单招数学中职类试题难度不大，平均分却只有40分左右(满分100分)，这说明中职数学教学存在不少问题，值得数学教育界的关注与研究．有鉴于此，笔者对2017年四川省高职单招数学考试中职类的部分试题，从试卷的整体设计，基础知识、数学能力的考查等方面进行了较深入的分析，认为这些试题具有以下特点：以立德树人为核心，坚持全面育人导向；以基础知识为重点，考查数学主干内容；以能力立意为主线，突出数学思维，考查数学思想方法；以数学应用为导向，考查实践创新意识．

1 以立德树人为核心，坚持全面育人导向

立德树人已成为数学考试的新动向和新亮点．将核心价值观融入到试题中，意在培养学生正确的世界观、人生观、价值观和荣辱观，使广大青年学生在民族精神和时代精神的教育中，接受中华优秀传统文化，正确认识中华民族的历史和未来，积极构筑理想和道德支撑[3]．今年四川的高职单招数学试题，较好地体现了立德树人的精神和全面育人的导向．

例1(第7题) 为“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，中央电视台举办了诗词知识比赛．每场比赛的第一轮为个人追逐赛，有4名选手参加．在第一轮中，每名选手在答题前随机不放回地抽取第1，2，3，4组题目中的一组题目．已知第一个出场选手在第一轮中擅长第1组和第3组题目，那么他在第一轮能抽到自己擅长题目的概率为

本题以中央电视台的《中国诗词大会》(第二季)节目为背景，将诗词知识比赛与概率知识巧妙结合，能够引导学生了解我国的优秀传统文化，激发学生的民族自豪感，促进学生建立正确的文化观、价值观．

例2(第10题) 某高职院校一大学生毕业后为响应“大众创业，万众创新”的号召，决定回家乡兴办一个现代化养鸡场．如图，该养鸡场场地是一个矩形ABCD，其中一面靠墙(墙足够长)，其它三面由100米长的竹篱笆围成，则该养鸡场场地的最大面积是

A.10000m2B.5000m2

C.2500m2D.1250m2

该题以学生响应中央的“大众创业，万众创新”号召为背景设计试题，意在引导考生立志创业、崇尚创新，体现了中国人勤劳奋进的传统美德，展示了学以致用的教育理念：一是在毕业后返回家乡，利用所学专业知识服务家乡、报效家乡；二是利用所学数学知识解决生产生活中的实际问题．

众所周知，数学教育与树人有密切关系．数学对培养人的科学精神、量化思维、思维方法、探索能力、思辨能力、创新能力等具有重要作用．数学与立德有密切关系，立德的过程就是德育的过程．一方面，数学教育应该而且可以发挥“数学教学具有的德育功能”．[4]另一方面，良好的德育有助于数学的教学，德育可以帮助学生培养正确的动机、浓厚的兴趣、积极的情感、良好的习惯、坚强的意志和独立的性格，这些德育因素是学生学好数学应具备的品质[5]．党的十八大报告指出，要把立德树人作为教育的根本任务．这些题目通过对“核心价值”的考查引导学生在知识积累、能力提升和素质养成的过程中，逐步形成正确的核心价值观，这也体现了高考所承载的“坚持立德树人，加强社会主义核心价值体系教育”和“增强学生社会责任感”的育人功能和政治使命[3]．

2 以基础知识为重点，考查数学主干内容

试卷覆盖了中职数学的所有知识板块，重视基础知识的全面考查．试题设计立足于中职数学的核心和主干知识，全面考查了函数、数列、三角、不等式的基础知识，直线、圆、圆锥曲线的方程等解析几何的基础和主体内容，空间线面关系、简单几何的体积计算，概率统计等基础知识．试题高度重视教材价值的挖掘与联系，有的题目直接由教材的例题或习题改编而成，有的试题依托教材背景设计．

例3(第8题)不等式|x-3|<1的解集为

A.(1,3) B.(2,4)

C.(1,4) D.(-∞,2)∪(4,+∞)

本题源于教材，考查绝对值不等式的解法等基础知识．此题所涉及的绝对值不等式的解法是学习极限定义的必备知识，对于进入高校学习高等数学具有重要作用．本题意在考查学生进一步学习的潜能．抽样数据表明，本题得分率为0.52，说明近一半的学生并没有掌握绝对值不等式的解法，这对进一步学习高等数学不利．

例4(第9题) 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，该抛物线上一点M(1,a)到焦点的距离为2，则该抛物线的方程是

A.y2=4xB.y2=2x

C.x2=4yD.x2=2y

本题源于教材，考查抛物线定义．学生若应用抛物线的定义，则可避免繁琐计算，简洁明快地解决问题．定义体现了数学的本质，本题通过对抛物线定义的考查，让学生体会数学本质的简单美．如果考生能够运用定义及参数的几何意义，结合图形，则可通过心算得到答案．这样的设计体现了“多想少算”的命题理念.

抽样统计显示，本题得分率为0.31．说明大部分的学生还不能利用抛物线的定义解决圆锥曲线的问题．根据调研，出现这样的情况有以下原因：一是有的学生采用直接代点的坐标计算的方式求解问题，在求解过程中出现了计算错误；二是解析几何的综合性较强，涉及的知识点较多，解决此类问题需要具备较高的数学素养，学生对圆锥曲线有畏难情绪；三是由于圆锥曲线的知识是拓展模块的内容，有的学生甚至没有学过这部分内容．解析几何作为联系代数与几何的桥梁，是学生学习和领悟(感悟)数形结合思想的重要内容，是进一步学习高等数学的重要基础．因此，应加强解析几何的教学力度.

这些题目着重考查了中学学习阶段的基础知识和主干内容，这些知识是今后进入大学学习以及终身学习所必须掌握的“必备知识”，这体现了高考对进一步学习的学生需要具备适应大学学习的基础知识、基本能力和基本素养的“基础性”考查要求[6].

3 以能力立意为主线，突出数学思维，考查数学思想方法

试卷以能力立意设计试题，考查了思维能力、运算求解能力、空间想象能力等能力．在此基础上，特别突出了对数学思维的全面、深刻考查，大量题目考查了观察、联想、类比、猜想等数学思维方法与能力，对函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想进行了较全面的考查．

例5(第15题) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，A1C⊥AB，AB=AC=AA1=1．

(Ⅰ) 求证：AB⊥AC；

(Ⅱ) 求三棱锥C-AA1B1的体积．

立体几何的学习，一般体现为“直观感知——操作确认——思辨论证——度量计算”这样一个认知过程．本题给出图形便于学生感知，第一问要求学生进行论证，并在此基础上进行度量计算，考查学生的观察、想象、分析、判断及推理能力．立体几何的学习需要学生具备必要的空间想象能力、推理论证能力和运算能力，这对于学生后继学习具有重要意义，更是相关技术职业工作必不可少的基础能力．

抽样数据表明，本题的得分率仅为0.16．学生在答题时表述不规范、推理不严密；学生无法提取和使用图形中的有效信息，识图、想图、用图能力很弱，不能充分观察研究出所给图形中的几何元素的相互关系；即使能够观察研究出相互关系，也不能将图形语言转化为文字和符号语言，更不能利用文字和符号语言刻画图形的相关性质．

立体几何中的识图、画图等基本技能在有关工业生产、工程制图、建筑施工、机械制造等工作中具有十分广泛的应用，识图、画图是学生将来从事相关工作的核心知识与重要技能，具有不可忽视的重要教学价值．这就要求我们在教学中高度重视空间想象能力和逻辑思维能力的培养，让学生经历解决问题的思维过程，积累解决问题的经验，提高学生分析和解决问题的能力；在分析解决问题的过程中，构建知识的横向联系，养成多角度思考问题的习惯，重视审题与解题后的总结、反思，形成良好的数学活动经验，提高数学思维水平，提升数学素养．

(Ⅰ) 求cos∠ADB的值；

本题考查函数与方程、化归与转化、数形结合、分类与整合等数学思想．全面考查了数学思维品质，包括思维的灵活性、发散性、批判性、创造性等．

第(Ⅰ)问需要考生对三角形的内角∠B进行分类讨论，利用正弦定理、同角三角函数基本关系、结合三个内角的关系得到结论．第(Ⅱ)问讨论三角形的边与边的关系，题目给出了两边及其一边的对角，一般情况下这样的条件不能确定一个三角形，但是此处蕴含的边角关系恰好可以唯一确定满足条件的三角形，这需要学生熟练运用正弦定理、三角形的边、角关系解三角形，较好地理解三角形的性质，具有解三角形时根据条件判断所得解是否符合题意的意识．若考生能够通过边的关系推知△ABC为直角三角形，也可通过解直角三角形的方法从而完成该题的解答．这也正是考查考生数学思维、数学能力和素养的反映．

本题得分率约为0.07．学生为什么做得如此之差呢？主要原因有：一是本题涉及到两个三角形，看上去显得复杂，很多考生感到无从下手；二是本题具有较强的综合性、灵活性，大部分学生尚不具备相应的数学思维水平，无法综合利用所学知识解决问题．

第(Ⅰ)问求解时，不论学生使用正弦定理还是余弦定理，都会求得cos∠ADB的两个解，学生需要结合题设条件舍弃一解．此问考查学生思维的严谨性，有部分学生正是因为缺乏这样的基本数学素养失分．

第(Ⅱ)问的求解，有以下几种思路：

思路1：可以使用正弦定理或余弦定理，求出BD，BC，进而得出结果；

思路2：如果学生能够通过边的关系或者角的关系分析出△ABC为直角三角形，求解第(Ⅱ)问则可以采用解直角三角形的方法，这种方法可以在一定程度上降低运算量；

思路3：若学生在第(Ⅰ)问在△ABD中使用余弦定理时，观察到方程x2+BD2-AD2=2x·BD·cosB的两根分别对应BD，BC，那么可以大大简化计算，这种解法具有创新性，可以避免重复使用余弦定理，以思维代替运算，是另一种简捷的运算途径．

本题通过多角度考查学生的思维能力、运算求解能力，可以有效区分不同思维水平层次的考生．

我们必须清楚地认识到运算是一种能力和技能，运算求解能力是运算技能和思维能力的结合，在教学中要高度重视并坚持长期训练．要培养学生能够根据题设条件，合理运用概念、公式、法则、定理，提高运算的准确性．在解决问题时，要注意算理，寻求与设计合理、简捷的运算途径．

这些题目要求学生多角度、全方位地观察、思考问题，并运用所学基础知识、思想方法分析、寻找解决问题的途径，最终给出解决问题的方法.这体现了高考重点考查“学生所学知识的运用能力，强调独立思考、分析问题和解决问题、交流与合作等学生适应未来不断变化发展社会的至关重要的能力”的要求[6]．

4 以数学应用为导向，考查实践创新意识

数学学科兼具应用性和实践性的特点[3]．本次高职单招试题充分体现了这一特点，对数学应用性的考查进行了探索．考查实践能力的试题涉及比赛规则的概率、成本最优化等背景，适度进行创新性的考查，体现了数学在解决实际问题中的重要价值和高考内容改革的基本要求．

例1运用古典概型知识解决含有实际背景的问题．本题具有较高的推广价值和探究价值，可以引发学生深入地思考与探究，学生若将问题推广为考虑第n个出场选手抽到自己擅长题目的概率，则可以通过全排列或者全概率公式得出问题的一般结论：所求概率与选手出场顺序无关．此结论是概率论中一个经典结论，对学生进一步学习和探究概率问题很有益处．

例2以修建养鸡场，节约用料为情境，考查学生运用所学知识解决实际中最优化问题的能力．通过在竹篱笆长度一定的条件下，探求最大养鸡场场地面积的过程中，让学生体会最优化的数学思想．本题的解答需要考生经历从实际问题中提炼出数量关系，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型——求解数学模型——检验数学模型，最后得出结论的过程．

这些试题贴近生活，背景公平，富有时代气息，体现了数学的应用价值．近年高职单招考题对应用题的选材和背景都注意取自学生熟悉易懂的环境，注意贴近学生生活实际，所以杜绝了学生虽然已经掌握数学方法但因为对材料陌生而不能正确理解问题、不能将实际问题转化为数学问题并求解的现象，这大大提高了考试的效度，真正考查了学生的应用能力和创新实践意识．根据这种情况，教学中应注重培养学生搜集处理信息的能力、对材料进行分析归类的能力；力求打破能力学科化的界限，引导学生用数学的眼光去分析生产和生活及其他学科的一些具体问题．

与我国经济社会发展相适应，当今社会所需要的不仅仅是服务于生产一线的操作工，更是大量有知识、高技能、应用型、创新型的技能型人才．这些试题考查学生独立思考，灵活应用所学知识分析问题，通过理论联系实际最终解决问题的实践和创新能力．这体现了“高考作为教育的重要手段和必要环节，要有利于创新人才的培养和选拔，要把考查独立思考、 创新精神和实践能力作为重要的考试内容．在命题中联系实际，深入探索考试的内容创新、形式创新、方法创新和手段创新，引导学生进行独立思考和创新实践，考查学生创新意识和创新素养，发挥高考在人才培养和选拔中的积极作用”[6]．

2017年四川省高职单招数学试卷充分渗透了优秀传统文化，体现了立德树人的要求．试题在应用创新，能力考查方面进行了积极有效的探索，突出对实践能力的考查，对中学数学教学有着较好的引导作用.