“高立意，低起点”让曲高也能和众①

2017-12-25徐小建

数学通报 2017年11期

徐小建

(南通市通州区平潮实验初中226361)

在“学程总结”过程中阶段性总结一般有两种分类标准，一种是按时间段落分类，如每月总结、期中总结、期末总结等，第二是按知识结构分类，如单元总结(较小范围内的相近知识总结)，专题总结(较大范围内的相近知识总结)等．本文通过一个案例来谈“专题性总结”．

1 教学过程简介

说明课前学生已经完成相关学习材料，本节课是在此基础上的交流、共享、提高课．

1.1 小题热身：回顾相似三角形的判定和性质

1.如图1，下列正方形网格中，小正方形的边长均相等，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )

2.在第1小题的条件下，若△ABC的面积为6，则和它相似的那个三角形的面积为，

此时，正形网格的边长为.

【教学片断】(略)

点评通过一组低起点的客观题回顾三角形相似的判定和性质，在与学生的交流、追问中对相似的判定和性质进行了系统的梳理，揭示了灵活选用判定和性质的策略，引导学生自主小结、提升，促使学生系统地理解、掌握知识，形成灵活运用知识的能力．

1.2 探究一:一个常见的图形

如图2，等腰直角△PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角△PAB的直角顶点处，△PCD绕点P在平面内转动．

图2

1.若 ∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N．

(1) 求证：△APN∽△PMN；

(2)找出图中除等腰直角三角形外的一对相似三角形并证明；

(3)请根据上面所证明的相似，写出一个形如“NP2=NA·NM”的式子；

(4)请根据(3)的结果，编写一道求线段长的计算题考考你的同桌.

2.若 ∠CPD的两边始终与直线AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，请画出相应的图形，判断1中结论是否成立，并说明理由．

3.若将上述问题中的“两个等腰直角三角形”改为“两个顶角相等的等腰三角形”，上述结论还成立吗？

【教学片断】

师：哪们同学来说说第一小问是怎么证明的？有哪些启发？

生9：因为∠PNM=∠PNA，∠NPM=∠NPA，所以△APN∽△PMN；在做这道题的时候我觉得要会找相似的条件，那就是一要抓住相等的角，二要抓公共角，这样就容易一些．

师：这是一个经典的问题，生9总结的经验也很经典．下面再来看看第二小问．

生10：△BPM∽△PNM．

(生10回答了一个答案之后准备坐下，师追问)

师：还有吗？你再想想我们刚才研究的第一小问题的结论哟！

生10：(思考了一会儿)还有，其实图中有三个三角形相互相似，△APN∽△PMN∽△BMP．

师：好，下面谁来说说第三小问．

生11：我写的是MP2=MB·MN．

师：你是怎么写出来的？有什么经验可以总结吗？

生11：我是模仿示例写出来的，其实是用了△PMN∽△BMP，写出对应边成比例就可以得出这个乘积式了，我记得以前老师讲过，两个相似三角形如果有一条公共边，那么这条过是另两边的比例中项．

师：说得非常好，那还能不能再写出一个类似的式子来呢？

(众生小声地说不能了)

生11：(肯定地说)不能了，因为图中没有共边的相似三角形了．

师：那可不一定哟，没有共边的相似三角形，我们还有含等边的相似三角形哟．

师：生12讲得很好哟，在大家都觉得不能再写了的时候，他一口气写了两个，现在请你说说你的经验．

生12：一开始做这题时我的答案也和生11是一样的，但是我总觉得还应该有新的形式，但是就是想不到，刚才老师说我们还有含相等边的相似三角形时，我一下子就想到了，其实含相等边的三角形范围更大，包含共边相似三角形，所以我们以后遇到这类相似时要考虑全面一些．

师：那好，我们现在进入下一个小问题，哪位同学来模仿例子出一道题？

(众生沉默，显然没有同学出题)

师：那哪位同学做出了这题？

师：那么接下来还可以求什么？

师：能求PM、PN吗？

生13：能求，由NP2=NA·NM，MP2=MB·MN就可以求了．

师：你之前会做吗？

生13：不会，刚才知道了AP2=BP2=AN·BM后我才想到这么做的．

师：看来对AP2=BP2=AN·BM这一关系的发现也是制约我们解题和出题的原因，那我们现在会出题了吗？

众生：会出题了．

师：其实，你们做进一步的研究可以发现，图中的线段中，只要知道两条就能求出其余的所有线段，这个问题课后再去思考．

师：下面我们再来研究第二和第三个问题．

学生出示按要求变化后的图形(图略)，教者结合图形用动画演示，引导同学们后得出相关结论仍然成立．(详细过程略)

点评将一道经典题目改编为一组环环相扣、层层递进的小题，每一小题解决一个重点知识、方法，使得重点突出、难点分散，将复习的意图暗藏其中，采用扶上马、送一程、跟着走、目送走的策略引导学生拾级而上，步步提升，形成登高望远之势．

1.3 探究二：变化条件再探究

如图3，△ABC中，AC=BC，点D是线段AB上一动点，∠EDF绕点D旋转，在旋转过程中始终保持∠A=∠EDF．若射线DE与边AC交于点M，射线DE与边BC交于点N，连结MN．

1.找出图中的一对相似三角形并证明你的结论．

2.在图3中，当点D运动到AB的中点时，找出图中的相似三角形并证明．(图略)

3.在2的条件下，求证：在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．

图3

4.若将本题中的条件变化为∠A=∠B=∠EDF=90°,把△ABC打开，AC、BC边分别表示为AC1、BC2，请画出图形，直接写出相关结论.

【教学片断】

师：刚才我们共同交流了探究一，现在我们再来研究探究二．哪们同学先来说说第一题．

生14：我找到了△AMD∽△BDN，由∠EDB=∠A+∠AMD和∠A=∠EDF可得∠NDB=∠AMD，再由∠A=∠B就可以证明△AMD∽△BDN．

师：说得非常清楚，还有不同想法吗？

生15：我觉得就和上面一题是一样的，即△AMD∽△DNM∽△BDN．

(这时下面有同学大声说不可能)

师：有意思，能说说你是怎么想的吗？能证明吗？

生15：我是从刚才的题中得到的想法，还没想好证法．

师：哦，那刚才那位说不可能的同学说说为什么不可能呢？

生16：因为点在运动，请看图4，就明显不可能是三个三角形相似呀．(投影学生画的图)

图4

师:你真了不起，用图形就直观地说明的这三个三角形不可能同时相似，画图有时是一种非常好的方法，当然前提是图形要画得比较准确，这样才能给我们一个初步的判断，直观判断之后我们还要论证．那下面请你来论证一下，行吗？

生16：这个我没想好，我觉得从图中就可以判断了．

师：是的，这个图画得还是很准确的．但是光凭画图不能代表证明哟，我们来想想，假如是△AMD∽△DMN那会有什么结论呢？

生15：我明白了，在图4中，由于角是转动的，所以如果△AMD∽△DNM只能是∠ADM=∠DMN，那么就会有MN∥AB，而事实上，在转动的过程中它们的位置关系是变化的，不是确定的，所以不可能三个三角形同时相似．

师：你讲得很有道理，所以我们不能只看图形，还要论证，这样我们才能对我们的结论确信无疑．下面我们再来探究第二个问题．

生15：我觉得这时应该是△AMD∽△DMN∽△BDN．

师：这么确信？

生15：肯定，因为探究一中提到了含相等边的相似三角形，如图5，当点D为AB中点时，△AMD和△BDN中就有边AD=BD，再加上它们三个三角形有相等的角，所以一定可以证明的．(大家听着生15的发言，都在紧张地思考，一会儿有几个同学的表情告诉我，他们已经解决问题了，这时生15停止了在纸上的分析)

师：你真是太棒了，这么短的时间想出了这么缜密的证明，大家听明白了吗？

生众：明白了．

师：下面我们再来看第三个问题，哪个小组来交流呢？

(众生沉默)

师：看来我们还都没想好，现在老师提醒你们往前看，看看前面一问证明相似的过程中我们能得什么结论？

(下面有小声的交流)

生17：如图5，过点D作AC、BC、MN的垂线段DR、DS、DT，由前一问的相似三角形的对应角相等可得MD、ND分别平分∠AMN和∠MNB，于是DS=DR=DT=定值．

图5

师：讲得非常好，现在请你来说说你做这道题的感受．

生17：这道题的问题一个比一个难，后面一个都与前面一个有关系，是建立在前面问题的基础上的，所以解答这类问题时我们要回头看一看已经求解的内容，从中获得启发．

师：你总结得太好了，我们可以看到，越往后问题确实越来越难，如果直接让我们来解第三个问题的话，我想可能就很难想到了，但是在这个系列问题中，我们循序渐进，拾级而上，最终我们也想出了第三问，这说明回头看的重要性，同时更说明在对图形基础属性把握的基础上，还要善于挖掘图形更多的性质．下面我们来展示一下第四问题的成果．

生18:我们的成果如图6(投影)，有以下结论:

图6

(1)当∠C1AB=∠C2BA=∠EDF=90°时，△AED∽△BDF．

(2)当∠C1AB=∠C2BA=∠EDF=90° ，D是AB中点时，△AED∽△DEF∽△BDF．

师：第二个结论是什么时候想到的？

生18：是刚才想到的，由探究二的第二问想到的．

师：很好，说明这位同学在听课的过程中及时将新的收获用到解题的过程中去了，这种爱思考的习惯值得大家学习．

生19：老师，其实不一定要是直角，只要∠C1AB=∠C2BA=∠EDF就有△AED∽△BDF，只要当∠C1AB=∠C2BA=∠EDF，D是AB中点就有△AED∽△DEF∽△BDF．

师：你说得很对，能告诉大家你如何发现的？

生19：刚才生18说的是特殊情况，我是把情况一般化，其实也就是将探究二中的那个图中的顶角∠C剪开，将点C变为C1和C2，如图7和图8，上面有关结论也相应成立．

图7

图8

师：你讲得非常好，一语道破了这一类问题的本质．这也就是我们有些辅导书上所讲的“一线三等角”“一线三直角”问题，其实它还是证明勾股定理时的弦图的一半的一个变式图形(画示意图略)，所以有些资料上也称之为“变式弦图”．这一类图形的共性就是有三个角相等，并由此产生一系列的全等或相似，在解题过程中我们要善于发现复杂图形中的基本图形，充分利用好基本图形的性质，就能给解题带来极大的方便．

点评在研究了探究一的基础上，探究二加大了探究力度，问题进一步开放，难度进一步加大．教者在引导学生分析的过程中，对在探究一中所形成的经验进行调用、辨析，产生新的认知，使培养能力这个看似“务虚”的目标真正得到了“落实”．同时，教者通过最后一个问题的设置让学生对各种不同图形之间的关系产生“顿悟”，有了“九九归一”的感觉．

1.4 自主感悟

【教学片断】

师:同学们，这节课老师和大家一起复习了相似的性质、判定和应用，在复习过程中我们梳理了知识，小结方法，提炼了策略，这三者合起来就形成我们的解题能力．当然能力永远是第二位的，那么第一位是什么呢？那是“意识”，就是我们要“想到用”相似来解题，“意识”让我们“想到用”，能力让我们“会用”，如何才能“用好”“用巧”？这就要求我们站在一定的高度，掌握一定的数学思想，关于这一点我们同学也许不太理解．下面我来解决这个问题，同学们“今天这节课老师主要和大家探讨了几个题目？”

生21：两条．

生22：不止两条，因为每道题目里又有好多小题，可能有十多题吧．

师：这两位同学说得都有道，现在我们来看看PPT上的小标题，探究一：“一个常见的图形”，探究二：变化条件再探究．你们说说看，我们一共探究了几个问题？

众生：一条？

师：一条？为什么？

生23：其实那么多的问题都是由这个常见图形变化而来的，并且方法思路有很多共同之处，所以可以说本节课就研究了一个问题．

师：说得好，这就是我刚才所说的“数学思想”的具体表现了．说明通过刚才的交流，同学们对所谓的“数学思想”已经有了一定的了解了．好，这节课就上到这儿，下课！

点评“编筐织篓，全在收口”，通过对本节课的回顾，阐明了知识、方法、策略与能力之间的关系，揭示了能力、意识和数学思想之间的关系，最终将落脚点放在很难落实的数学思想上，让学生真真切切地感受到数学思想的存在，充分彰显了复习课的高远立意．

2 总评：高立意，低起点，让曲高也能和众

2.1 高立意，专题性复习课的应然目标

“高立意”是指专题复习设计要以“提高独立的、综合性解题能力，掌握较为全面的解题方法、策略，形成一定的数学思想方法，提升数学素养”为立意，摆脱低水平的再现和大运动量题海或题型战术．

在本节课的教学设计中，“高立意”主要体现在以下两点：一是课堂环节的高立意，通过“热身→探究一→探究二→感悟→拓展”的整体流程将学生置于自主总结、层层提升的大环境中；二是在每一个小环节中，也体现出较高的能力、方法、策略立意．如，探究一的第4个问题引导学生从探究过程中找到一般性的结论，将探究成果推而广之；再如，探究二的第4小问引导学生将众多的图形概括成一个图形，让学生体会“万变不离其宗”“九九归一”的感觉；再比如，在自主感悟部分，教者引导学生从多题到最终的一题，将学生对“数学思想”的认识真真落到了实处．所有这些，都充分体现了教者在设计本节课时的高立意．细品这节课，能体现高立意的地方还很多，此处不再赘述．

2.2 低起点，专题性复习课的必然策略

为了让教学设计的高立意在课堂中落实，让学生的脑子动起来就成为了必须．如果我们强调思维的高立意，而学生却因为没有思维的原料和载体不能开展思维，那么再高的立意只能成教者的一厢情愿．正如爱因斯坦所说“一个空洞的头脑是不能进行思维的”一样，我们必须让学生的脑子里有足够思维的材料，怎么办？“低起点”是实现这一目标的必然策略，通过低起点的设计，可让绝大部分学生头脑不再空洞，可让同学们的大脑有足够加工的原料，如此难度的教学设计，课堂后气氛却如此活跃，不能不说是低起点的功劳．

在本节课的设计中，热身的两个小题，探究一和探究二中的第一、二小问都是比较基础的问题，绝大部分同学都能上手做一做，即便是比较难的问题，如探究一的两个开放性问题，为了降低起点，教者特意设计了示例，给学生搭建了脚手架，对基础特别薄弱的学生“牵着走”，基础一般的学生“扶着走”，基础较好的学生“跟着走”，比较优秀的学生“目送走”，特别优秀的学生“独立走”，做到全员参与，各有所获．

2.3 问题链，由低起点到高立意的有效途径

通过低起点让学生介入了专题性总结只是教学的初级目标，如何实现教学设计中的高立意，设置“问题链”是实现低起点迈向高立意的有效途径．

在本节课中，探究一的第一个问题设计了循序渐进的四个小问题，将这一个常见图形的各种性质、关系解析得淋漓尽致，形成了一个微型的问题链，每一个微型的问题链是这类问题系统中的基础，只要打好了这个基础，就掌握了解决系统内部问题的最基本的方法，由此就能建立更大的问题系统．比如，本节课中，在问题一的基础上，探索一又设置了两个问题，使探究一实现了由特殊向一般的转化，形成了一个中型的问题系统．这个中型系统其实就是一个具有一定规模的认知图式，就有了一定的整体功能，在此基础上教者设置了探究二，现场检测刚形成的认知系统的功能，使得问题系统成为一个大型系统，最后教者还试图利用课后拓展训练添加更多的新元素，将这一系统打造成超大系统，使之具有更强大的整体功能．其实从本质来看，这个系统其实就是一环套一环，环环相扣的一个链．所以说，循序渐进的问题链是实现由低起点到高立意的有效途径．