9～14岁儿童概率认知与四类认知的关系研究

巩子坤，殷文娣，何声清

(1． 杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036； 2. 北京师范大学教育学部，北京 100875)

9～14岁儿童概率认知与四类认知的关系研究

巩子坤1，殷文娣1，何声清2

(1． 杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036； 2. 北京师范大学教育学部，北京 100875)

以622名9～14岁儿童为被试，考察概率认知与一般认知、排列认知、组合认知及演绎推理认知的关系.结果表明，4类认知与概率认知在发展阶段上存在一致性，大都经历了缓慢发展(9～10岁)、快速发展(11～12岁)、停滞发展/倒退发展(13～14岁)3个阶段.组合认知对概率认知的影响最大，一般认知和演绎推理认知的影响次之，排列认知的影响不显著.一般认知、组合认知、演绎推理认知对5个概率任务均有显著影响，而排列认知的影响未达显著.

概率认知；一般认知；排列认知；组合认知；演绎推理认知

0 引言

“概率”是描述和刻画不确定现象的工具，它帮助人们对随机现象作出理性判断[1].概率素养已作为新课程背景下的数学核心素养之一被提上议程[2-3].我国数学新课程也将概率内容作为三大内容领域之一[4-5].然而一线教学实践[6-7]和相关实证研究[8-11]都一再表明，儿童对概率的理解存在困难，教师对该部分内容的教学也常常不适应.

儿童对概率的理解为何存在困难？哪些因素影响了儿童对概率概念的发展？结合已有理论和研究，儿童的概率认知受以下3个因素的影响较大.

第一个因素是儿童的一般认知发展.方富熹等[12]认为，儿童各种认知结构的发展是其认知发展的重要方面，也是其完成其他相关认知活动的心理基础.一般认知发展对概率认知发展的影响体现在各个方面：Piaget等[13]认为，儿童随机观念的形成是以认知“不可逆性”为标志的，直到理解了可逆运算之后，他们才能理解随机概念.Batanero等[14]认为，儿童的概率认知有赖于其对随机事件“独立性”的理解，如果他们难于意识到两个独立事件本质上是相互独立的，则常常会把它们建立人为的联系.Vahey等的研究[15]认为，在理解概率之前，儿童应起码认识到它是可以被事先理论计算或估计的.章建跃[16]认为，统计思维依赖于辩证思维的发展，而辩证思维从14岁才开始萌芽，因此不可过早引入统计与概率内容.除上述方面以外，儿童因果思维的发展也是影响概率认知的一个重要因素[17-19]，儿童常常倾向于诉诸“因果”思维来解释“随机”问题.

第二个因素是儿童演绎思维的发展.Piaget等[13]认为，儿童在12岁之前主要发展了随机性等基本概念，对于概率的量化则只能到了形式运演阶段在逻辑演绎能力的基础上得以发展.Copeland[20]也指出，“概率思维是在形式运算水平发展起来的.形式运算是更加抽象的运算，它要求假设演绎的能力.我们所进行的每一项研究都使我们期望相同的结论：概率思维的形成是以一种非常严格的方式依赖于演绎能力的进步的.”笔者以往的研究[21]也表明，儿童的概率认知与演绎推理认知之间有显著的相关性，且它们的发展趋势基本一致.

第三个因素是儿童组合认知的发展.Piaget等[13]认为，到了学习复合概率的阶段，儿童的概率认知不可避免地受到组合认知的影响，“儿童从11，12岁开始将概率的概念建立在可能的组合数之上，能够进行精确的计算了.因为机遇与概率的概念本质上是组合性的.”古典概率具有先验性，在推演和计算上依赖于其对样本空间的理解[22-23].而在复合事件的情境下，构造样本空间的过程实质上是对各个可能结果做组合的过程[24-25]，因此组合认知在概率认知中扮演着重要知识基础的角色.

排列认知与组合认知有着密切的联系：排列是有序的组合，组合是无序的排列.与组合认知一样，排列认知对儿童的概率认知也可能有一定影响.

以上初步厘清了影响儿童概率认知的4个因素.然而，概率认知与以上认知(因素)有多大程度的相关性？这些认知是如何影响儿童的概率认知的？本研究探查一般认知、排列认知、组合认知、演绎推理认知(简称4类认知)对儿童概率认知的影响，细言之，概率认知与4类认知发展的一致性，以及4类认知对概率认知影响的权重.

1 研究方法

1.1 被试

采用分层取样的方式，选取浙江省杭州市城区(207名)、城乡接合地区(211名)及农村地区(204名)3个类型学校的9～14岁被试共计622名.之所以选择9岁儿童作为研究的起始年龄，是因为有关研究[26-27]表明，9岁是演绎推理发展的萌芽时期，也是概率认知发展的重要时期.

1.2 调查问卷设计

1.2.1 概率认知问卷

由于该研究是对笔者以往研究的深化，本部分问卷延续了文[21]的设计.具体而言，它包含4套题目，每一套题目包含5个概率认知任务，即认知随机性、认知随机分布、随机性大小的模糊认知(简称模糊认知)、用整数表示可能性的大小(简称数量化)、用分数表示可能性的大小(简称分数表示).

1.2.2 一般认知问卷

该问卷采用“儿童认知发展水平诊断工具(IPDT)”[12，28-29].IPDT包括5个问题领域，各包含2～5个子测验，共有18个子测验.每个子测验包含4个题目，问卷共计72个题目.IPDT的具体结构如表1.

表1 IPDT纸笔测验的结构Tab. 1 Structure of IPDT test

1.2.3 排列认知问卷

1.2.4 组合认知问卷

1.2.5 演绎推理认知问卷

本部分问卷同样延续了文[21]的设计.研究者选取了较容易理解的充分条件假言推理.基于方富熹等[26]的问卷并进行适当改编后，设置了2套题目.以其中第1套题为例：所有的孩子得到一辆自行车，都会高兴.孩子小莉得到一辆自行车，小莉高兴吗？

1.3 程序与计分

一般认知问卷采用电脑测试，其他认知问卷采用纸笔测试.被试对每一问题的反应按照0，1两级计分(正确计1分，错误计0分).

2 结果与分析

2.1 信度和效度

以Cronbach α系数为指标，分别考察各套问卷的内部一致性系数.结果显示，概率认知问卷(α=0.870)、一般认知问卷(α=0.914)、排列认知问卷(α=0.859)、组合认知问卷(α=0.714)及演绎推理认知问卷(α=0.877)均具有较高的同质性信度.

效度检验表明，各套问卷内部测试项目的得分与总得分的相关性以及各测试项目之间的相关性(概率认知问卷，r=0.287～0.818；一般认知问卷，r=0.489～0.860；排列认知问卷，r=0.351～0.818；组合认知问卷，r=0.264～0.757；演绎推理认知问卷，r=0.427～0.885)都达到了显著水平(p<0.01)，表明各问卷均具有良好的结构效度.

2.2 概率认知与4类认知得分的描述统计

为验证4类认知影响儿童概率认知的假设，首先对概率认知与4类认知进行了描述统计(表2).

表2 9～14岁儿童概率认知与4类认知的得分比较(得分率)Tab. 2 Comparison between probability cognition and the other topics’ cognition for 9 to 14 years (scoring rate)

从表2可以看出，儿童的概率认知与4类认知的发展整体上呈现出上升趋势，且9～10岁是缓慢发展阶段，10～12岁是较快发展阶段，12～14岁是停滞发展甚至是倒退发展阶段.概率认知与4类认知的整体发展趋势是一致的.

2.3 概率认知与4类认知的关系

2.3.1 概率认知与4类认知的相关性

对4类认知与概率认知进行相关分析，结果表明，概率认知与一般认知(r=0.487)、排列认知(r=0.287)、组合认知(r=0.549)及演绎推理认知(r=0.362)的相关系数均达到显著性水平(p<0.001).

2.3.2 概率认知与4类认知发展阶段的一致性

概率认知发展阶段.根据已有研究[21]，9～14岁儿童概率认知发展可以分为3个阶段：缓慢发展阶段(9～10岁)，得分率增加但没有显著性差异；快速发展阶段(11～12岁)，得分率增加且有显著性差异；停滞发展阶段(13～14岁)，得分率减少但没有显著性差异.

一般认知发展阶段.以学生的年龄为自变量，以一般认知总得分为因变量，进行单因素方差分析.结果表明，F(5，616)=50.578，p<0.001，不同的年龄组间存在显著性差异.多重比较表明，11岁与12、13岁之间，12岁与13、14岁之间，13与14岁之间，差异不显著(p>0.05)；其余年龄之间的差异显著(p<0.05).结合描述统计，9～14岁儿童一般认知发展可以分为2个阶段：9～11岁为快速发展阶段；12～14岁为缓慢发展阶段.

排列认知发展阶段.以儿童的年龄为自变量，排列认知总得分为因变量，进行单因素方差分析.结果表明，Welch(5，286.548)=4.302，p<0.01，不同的年龄组间存在显著性差异.多重比较表明，只有9岁儿童与12岁、13岁儿童之间存在显著性差异(p<0.01)，其余年龄之间的差异不显著(p>0.05).结合描述统计，9～14岁儿童排列认知发展可以分为2个阶段：9～12岁为缓慢发展阶段；13～14岁为停滞发展阶段.

组合认知发展阶段.以儿童的年龄为自变量，组合认知总得分为因变量，单因素方差分析结果表明，Welch(5，285.086)=14.804，p<0.01，不同的年龄组间存在着非常显著的差异.多重比较表明，9、10、11岁儿童都与12、13岁儿童之间存在显著性差异(p<0.05)，12、13岁儿童都与14岁儿童之间存在显著性差异(p<0.05)，其余年龄之间不存在显著性差异(p>0.05).结合描述统计，9～14岁儿童组合认知发展可以分为4个阶段：缓慢发展阶段(9～11岁)；快速发展阶段(12岁)；停滞发展阶段(13岁)；倒退发展阶段(14岁).

演绎推理认知发展阶段.根据文[21]结果，9～14岁儿童演绎推理认知发展可以分为4个阶段：缓慢发展阶段1(9～10岁)；快速发展阶段(11岁)；缓慢发展阶段2(12～13岁)；停滞发展阶段(14岁).

对概率认知与4类认知的发展阶段进行对比，结果如表3.

表3 4类认知与概率认知发展阶段的比较Tab. 3 Comparison of developmental stages between probability cognition and the other topics’ cognition

可见，概率认知与4类认知大都经历了缓慢发展(9～10岁)、快速发展(11～12岁)、停滞发展/倒退发展(13～14岁)3个阶段.特别地，在第3个阶段，除一般认知出现了缓慢发展外，其他认知均出现了停滞与倒退发展.除排列认知之外，组合认知、演绎推理认知、一般认知、概率认知发展的重要时期均出现在11岁左右.综上，无论是发展的趋势，还是发展的重要时期，概率认知与其他4类认知均具有一致性.

2.4 影响儿童概率认知发展的关键因素分析

2.4.1 4类认知对概率认知的影响

以4类认知为预测变量，概率认知为被预测变量，进行多元回归分析.结果表明，F(4，616)=129.958，p<0.001，4类认知与概率认知存在显著的线性关系.标准化系数表明，4类认知对概率认知的影响权重依次为：组合认知43.9%，一般认知27.0%，演绎推理认知16.9%，排列认知8.6%.相应的回归方程为：

概率认知=3.119+0.080(一般认知)+0.346(排列认知)+1.648(组合认知)+0.314(演绎推理认知).

2.4.2 4类认知对5个概率认知任务的影响

相关分析表明，4类认知与5个概率认知任务有显著性相关(r=0.082～0.435).以4类认知为预测变量，5个概率认知任务分别为被预测变量，进行多元回归分析.表4中R2值表明：4类认知对于模糊认知、分数表示、数量化3个认知任务的回归关系比较密切，而对于认知随机分布与认知随机性回归关系一般.由于前三者主要涉及到概率的定量化，因此总体而言，4类认知在解释概率的定量化认知方面有效，而在解释随机性认知方面效果一般.

标准化系数表明：演绎推理认知、排列认知、一般认知显著影响了认知随机性，组合认知不显著影响认知随机性；一般认知、排列认知显著影响了认知随机分布，演绎推理认知没有影响认知随机分布；一般认知、组合认知、演绎推理认知显著影响了模糊认知、数量化及分数表示，而排列认知对上述方面的影响不显著.

表4 4类认知对5个概率认知任务的回归分析Tab. 4 Regression analysis of the 4 topics’ cognition to the 5 probability sub-concepts’ cognition

*，p<0.05；**,p<0.01；***，p<0.001.

相应的回归方程分别为：

认知随机性=2.582+0.080(一般认知)+0.124(排列认知)+0.124(组合认知)+0.079(演绎推理认知)；

认知随机分布=1.007+0.116(排列认知)+0.019(一般认知)；

模糊认知=-0.126+0.035(一般认知)+0.086(排列认知)+0.228(组合认知)+0.073(演绎推理认知)；

数量化=0.587+0.016(一般认知)+0.047(排列认知)+0.231(组合认知)+0.075(演绎推理认知)；

分数表示=0.076+0.021(一般认知)+0.089(排列认知)+0.179(组合认知)+0.087(演绎推理认知).

综上所述，一般认知、组合认知、演绎推理认知显著影响了不同的概率认知任务；排列认知的影响通常不显著.这个结果与4类认知对概率认知的影响是基本一致的.

2.4.3 3个概率认知发展阶段4类认知对概率认知的影响

相关分析表明，3个发展阶段，4类认知与概率认知存在显著性相关(r=0.214～0.560).以4类认知为预测变量，3个发展阶段的概率认知为被预测变量，分别进行多元回归分析.由表5中R2值可知：3个发展阶段，4类认知对于概率认知的回归关系密切.这个结果与整个发展阶段的结果是一致的.

标准化系数表明：在缓慢发展阶段，4类认知均显著影响了概率认知，组合认知的影响最大，排列认知的影响最小.在快速发展阶段和停滞发展阶段，组合认知、一般认知、演绎推理认知显著影响了概率认知，排列认知对概率认知无显著影响.

表5 3个发展阶段4类认知对概率认知的回归分析

*，p<0.05；**,p<0.01；***，p<0.001.

以上分析表明：在不同的概率认知发展阶段，组合认知、一般认知、演绎推理认知显著影响了概率认知，排列认知的影响通常不显著.这个结果与概率认知整个发展阶段4类认知对概率认知的影响是一致的，也与4类认知对5个概率认知任务的影响是一致的.

3 讨论与建议

3.1 4类认知与概率认知存在显著相关性，且在发展阶段上存在一致性

对于9～14岁的儿童而言，概率认知45.4%的变异可以由以上4类认知解释，其中组合认知对概率认知的影响最大，一般认知、演绎推理认知次之，排列认知的影响最小.这个结果与4类认知对5个概率认知任务的影响是一致的，也与3个概率认知发展阶段中4类认知对概率认知的影响一致.4类认知对于9～14岁儿童概率认知、不同概率任务的认知及3个发展阶段概率认知的影响权重基本是一致的(表6).

表6 4类认知对概率认知的综合影响Tab. 6 The comprehensive impact of the 4 topics’ cognition to probability cognition

排列认知的影响不显著，这也许与排列认知问卷有关：3套排列题目相对简单，9～14岁儿童的平均得分率是88%，即便是9岁的儿童得分率也达到了80%，从而测试结果出现了“天花板效应”.笔者相信，如果对排列认知问卷进行完善，也许会得到不同的结果.

3.2 组合认知对概率认知影响最大

无论是对概率认知的影响，还是不同发展阶段对概率认知的影响，组合认知均成为了第一要素，说明组合认知的确在概率认知发展中扮演十分重要的角色，这也得到了众多研究[13，24]的支撑.正是因为组合认知对概率认知的影响最大，所以在学习概率之前，应将组合作为预备知识对学生进行适当的渗透和启蒙.人教版小学数学教材二年级上册第八章的“数学广角”就设计了此类问题：用一角、两角、五角买一本五角的拼音本，有几种买法[30]？车亮的研究表明，即使是年龄很小的孩子也能够在教师的指导下有效地应对组合问题[31].当然，即便是发展水平最高的12岁儿童，其组合认知得分率也才达到68%.对于儿童的组合认知，不可有过高要求.

3.3 一般认知、演绎推理认知对概率认知影响较大

一般认知对概率认知的影响权重仅次于组合认知.笔者发现，城市、城乡、农村儿童概率认知之间、一般认知之间没有显著性差异[28].这表明，尽管城市儿童比城乡及农村儿童有更多的学习机会，但是由于概率认知与一般认知密切相关，常规知识与技能学习没有影响儿童的概率认知与一般认知.

相对于主观概率，客观概率可以进一步分为理论概率与实验概率.理论概率的一个例子就是古典概型，古典概率具有先验性，它可以事先通过随机分布(样本空间)进行理论计算，而“列举所有可能结果个数(构建样本空间)→锁定目标结果的个数→将其与所有可能结果的个数做对比”的过程实质上是一个演绎推理的过程.

3.4 本研究的理论贡献及应用价值

本研究详细探查了4类认知与概率认知的发展阶段一致性，4类认知在概率认知不同发展阶段的影响及其权重，以及4类认知对不同概率任务认知的影响及其权重.以往研究多从理论上论述概率认知的可能影响因素[16]，或者仅证实了某个单一因素与概率认知的相关性[21]，缺乏对多种影响因素及其权重的综合考察，更缺乏对概率认知发展不同阶段的主导影响因素的深入探索，亦没有就上述因素对不同概率任务的影响进行综合考察与对比.本研究综合探查了影响概率认知的因素.

除了上述理论贡献以外，本研究对当前中小学概率内容的教学有以下参考.第一，尊重儿童概率认知发展的客观规律及其局限.儿童的概率认知发展不是一蹴而就的，Piaget的研究[13]表明儿童在不同阶段发展的内容不同，本研究则进一步表明不同阶段所依赖的知识基础不同.儿童概率知识的学习是伴随着其他数学分支同步进行的，教学要明确各个阶段概率内容所依赖的相关知识，让学生的概率学习建立在可靠的知识基础之上.第二，区分不同因素对不同概率任务认知的影响.儿童对5个概率任务的发展时机和速度均有所差异，并且对某些任务的认知不太依赖该4个因素的发展而对另一些任务的认知则非常依赖，这需要在教学中加以区分.例如，儿童的随机性认知对组合认知的依赖性相对不高，而概率大小的数量化则对组合认知的依赖性较高.这说明，有关概率定量的内容(概率比较、概率计算、样本空间等)一般需要建立在组合内容的学习之上，而有关随机思维的培养则可以更早地进行.

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OntheRelationsamongProbabilityCognitionandFourTypesCognitioninChildrenof9to14YearsOld

GONG Zikun1, YIN Wendi1, HE Shengqing2

(1. School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China; 2. Faculty of Education, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

This study selected 622 children aged 9 to 14 as the subjects and focused on the relations among probability cognition and general cognition, arrangement cognition, combination cognition as well as deductive reasoning cognition. The results showed that four types cognition and probability cognition basically experienced 3 stages: slow development, 9 to 10 years old; rapid development, 11 to 12 years old; stagnation development/backward development, 13 to 14 years old. Combination cognition affected probability cognition most and followed by general cognition and deductive reasoning cognition, while arrangement cognition did not affect probability cognition significantly. General cognition, deductive reasoning cognition and combination cognition significantly affected on the 5 probability tasks while arrangement cognition did not affect them significantly.

probability cognition; general cognition; arrangement cognition; combination cognition; deductive reasoning

2017-03-27

教育部人文社会科学研究规划基金项目(15YJA880020).

巩子坤(1966-)，男，教授，博士，主要从事数学教育心理学研究.E-mail:zkgong@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.06.003

B844

A

1674-232X(2017)06-0580-07