台湾大学入学考试数学试题述评

郝保国

(华南师范大学附属中学 510630)

台湾地区实施的是多元大学入学方案,每年有两次大的考试.一是每年1、2月份的大学学科能力测试(简称“学测”),兼有“繁星计划”、“推荐甄选入学”、“特殊身份学生优待入学”等方式,可以让一部分学生提前被大学录取.如果学生在这一次没能被理想的大学录取,那么还可以参加7月初的指定科目考试(简称“指考”).“指考”数学考试分数学甲(理科程度)与数学乙(文科程度).

在大陆,每年高考一结束,大家就对数学试卷评头品足,加之微信一散播,影响是巨大的.台湾与大陆同文同种,有相同的文化与教育传统.我们不妨把审视的目光投向海峡那边,了解、分析台湾大学入学考试数学试题,或许会给我们带来新的发现与感受.本文拟述评近三年台湾大学入学考试数学试题,期望给我们高考相关部门和一线数学教师提供一些借鉴和参考.

1 试卷结构的设置

台湾试卷强化标准化考试,单选题与多选题并存.“学测”由单选题、多选题、选填题三类题型构成.每次考试用时100分钟,总分100分；“指考”数学甲与数学乙从结构上讲,比“学测”各多了两个解答题,每套试卷用时均为80分钟,总分100分.

三套试卷中的单选题、多选题、选填题在不同年份中呈现的个数和对应分值是有变化的.以“指考”数学甲为例,可以看到近三年中三类试题呈现的个数与对应分值的变化情况,见表1.

表1 不同年份数学甲三类试题呈现的试题个数与对应分值

台湾各套试卷的单选题每题给出5个选择支,其中只有一个选择支是正确的.多选题每题也是5个选择支,但正确选择支不止一个.

选填题是怎样的题型呢？就是按照给定的答题模式,将所得答案涂在答题卡上,便于机器阅卷,可以节省阅卷的人工成本.其实与大陆高考数学试卷中的填空题没有本质上的区别,只有形式上的不同.解答题在“指考”试卷中叫非选择题,从形式上讲,与大陆试卷中的解答题相同.

单选题比大陆试卷中的选择题多一个选择支,选中的概率要低一些.多选题属开放式题型.大多数多选题虽然考的某一块知识,但考查的基本知识点不止一个.比如例1,虽然考的是数列与极限的知识,但基本知识点涉及到等比数列、通项公式、数列求和、递推式、求极限等.台湾大学入学试题命题方向指出,选择题考查数学概念,并鼓励学生根据给予的选项作判断；选填题考查学生主动解题的能力；解答题是进一步考查学生解题时的论证及表达能力.

多选题在大陆高考试卷中偶尔有涉及,而台湾每一套试卷有多个多选题,占分还比较高,这是与大陆高考试卷很不同的地方.台湾多选题一般容量比较大,有些题突出了核心数学概念,强化了基础知识与基本技能的考查；有些题依托数学模型,注重数学思想方法的考查；有些题学生可凭借数学直感、类比、归纳可以解决,考查学生的合情推理能力.台湾多选题一般客观性强,可信度高,在升学考试中具有很好的甄别和选拔功能.

2 试卷内容的呈现

台湾地区高中数学实行“一纲多本”,因此大学入学数学考试大纲要统整课程与各教材的知识内容.“学测”题一般考查学生对高一、高二课程中概念性知识、程序性知识的理解与掌握,以及基本数学能力的运用；“指考”题以进一步考查学生阅读、表达、推理以及连结的能力为主.另外,为协助大学各校系选才,须考虑学生未来修习各专业课程时所需的数学知识,应针对这些知识进行较具深度的考查.一般而言,数学乙的题目计算量较少,整合性试题在比例上也较少；数学甲则较多整合数个概念的问题,计算量也较多.

数学甲与数学乙的考试范围与内容,具体见表2.

表2 数学甲与数学乙两试卷的考试范围与内容

统计三年试卷,可以看到各知识点实际被考到的次数：

“学测”：平面向量7次,三角7次,空间向量6次,概率统计5次,函数与图象5次,数列5次,数据分析4次,行列式与矩阵4次,指数函数与对数函数4次,线性规划3次,排列组合二项式定理3次,直线与圆3次,椭圆与双曲线3次,不等式2次,数与式1次,高次多项式与方程1次,含绝对值方程1次,立体几何1次,逻辑推理2次.

数学甲：概率统计6次,微积分5次,空间向量5次,平面向量5次,极限4次,行列式与矩阵4次,高次多项式或方程4次,三角4次,复数3次,数列3次,指数函数与对数函数3次, 直线与圆3次.

数学乙：平面向量5次,高次多项式与方程5次,概率统计4次,行列式与矩阵3次,极限3次,线性规划3次,直线与圆3次,排列组合二项式定理2次,二次函数与图象2次,数列2次,指数函数与对数函数2次,数据分析2次,三角1次,数与式1次.

由于三套试卷考查的目的各不相同,因而考试内容有所侧重.但从总体来说,概率与统计、平面向量、空间向量、极限、微积分、行列式与矩阵等现代数学内容是考试的重点.与每个知识点每年呈现的个数是不确定的一样,每个知识点每年所占分值也是不确定的.也许台湾大学入学数学试题存在这些变数,使复习迎考没有固定模式可以遵循,反而会增添考试本身的魅力.

3 试题的特色

台湾地区学生在国际评价项目TIMSS和PISA中均有杰出表现,这证明了他们的数学教育质量非同一般,应该他们的大学入学数学试题也有独到之处.我们从下面几个方面来分析和欣赏.

3.1 突出了能力立意

台湾地区2010年颁布的《普通高级中学数学课程纲要》,特别重视学生数学能力的培养.因些,台湾地区大学入学数学试题突出能力立意的主旨,尤其突出考查学生的推理能力、运算能力、抽象化能力、解题能力,提倡试题能给学生提供多角度思考问题、一题多解的空间,反对试题求解过程中需要用到繁杂的运算和特别强的解题技巧.

(1)试描绘y=f(x)在0≤x≤3范围中可能的图形,在图上标示(0,f(0)),(2,f(2)),并由此说明a为正或负.

(2)试求方程式f(x)-12=0的实数解(如有重根须标示),并利用y=G(x)在x=1处有极值,求a之值.

(3)在0≤x≤2的范围中,求G(x)之最小值.

解 (1)由题意在0≤x≤3的范围中,f(x)在x=0,x=2处有最大值12,加之f(0)=f(2),故可得三次函数如图1所示,此时a<0.

(2)解法一：方程f(x)-12=0的实数解可视作直线y=12与y=f(x)的交点横坐标,由f(0)=f(2)=12,可得x=0,x=2是方程f(x)-12=0的两个解,因f(x)在x=2处有极大值,所以x=2是一个二重根,从而可设f(x)-12=ax(x-2)2.由于G′(x)=f(x),又因为G(x)在x=1处有极值,可得

图1

f(1)=G′(1)=0,所以由f(1)-12=a得知a=-12,且f(x)=-12x(x-2)2+12.

解法二：由f(0)=f(2)=12,f′(2)=0可知

方程f(x)-12=0的解是 0和2(重根),由G′(x)=f(x),又因为G(x)在x=1处有极值,故可得f(1)=G′(1)=0.

假设多项式f(x)=ax3+bx2+cx+d,则其微分是f′(x)=3ax2+2bx+c,再由f(0)=f(2)=12,f′(2)=0,解得c=4a,b=-4a,d=12,再由f(1)=0可解得a=-12,亦即f(x)=-12x2+48x2-48x+12.

(3)因为G′(x)=f(x)=-12x2+48x2-48x+12=-12(x-1)(x2-3x-1)

下面有两种解法说明G(x)之最小值为G(0)=0.

所以,在0≤x≤2的范围中,G(x)的最小值为G(0)=0.

解法二：由第(2)小题f(x)=-12x2+48x2-48x+12,可推得

G(x)=-3x4+16x3-24x2+12x，

这是2016年“指考”数学甲中最后一个解答题,充分将微分、积分的知识与方法融于一题.解题过程中,除了将一元三次式分解因式外,没有用到特别的解题技巧.但是,这是一个微分与积分的综合题,涉及的知识点比较多,多次要用到讨论单调性、微分与积分互换、闭区间内求极值等方法技巧,因此,想拿到高分也是不容易的.

3.2 注重与实际生活的紧密联系

《普通高级中学数学课程纲要》在“课程目标”中指出,培养学生具备实际生活应用和学习相关学科所需的数学知能.在“核心能力”培养中,提倡培养学生“连结能力”,能将课堂内学到的知识联系到生活实际,用数学知识有效地解决生活中随时可能碰到的问题.

例3(2015年“指考”数学乙解答题第1题) 根据内政部营建署《建筑物无障碍设施设计规范》,无障碍通路之设计需符合以下规定：

(2)坡道之起点及终点,应设置长、宽各150公分以上之平台.此处的长指的是水平长度,而非斜面的长度；

(3)走道的中间应设置适当数量的平台,使得每段坡道的高差不超过75公分,且平台的水平长度至少150公分；

图2与图3为侧面示意图,图2摘自此规范书,图3为图一的简明版,其中l≥150,h1,h2≤75；走道之坡度相当于走道斜率之绝对值.

图2

图3

依上述规定,一条升高2公尺的无障碍走道,在无转弯的条件下,其最小可能的水平长度(含平台)为多少公尺？

当高度不超过6公分时,只能设计一个平台；

当高度差超过6公分,但不超过3+75+3公分时,可以设计前后两个各150公分的平台,中间一个坡道；

当高度差超过3+75+3公分,但不超过3+75+3+75+3公分时,可以设置前后两个各150公分的平台,中间两个坡道以及一个150公分的平台；

当高度差超过3+75+3+75+3公分,但不超过3+75+3+75+3+75+3公分时,可设置前后两个各150公分的平台,中间三个坡道以及两个150公分的平台；

四个150公分的平台会升高3×4=12公分,剩下的200-12=188公分的高度由坡道来提供,所以坡道的水平长度为188×12=2256公分,因此水平总长度为2256+150×4=2856公分,也就是28.56公尺.

从例3还可以看到,题设文字表述多,但从求解过程看,没有繁杂的运算,也不用到特别强的数学技巧.这是台湾数学课本习题和重大考试数学试题的一种常见现象,练的和考的是学生阅读能力、理解能力、运算能力.这些能力是学生离开学校能够带得走的能力,而不是那种考完考试就用不上,一个月不用就忘干净的所谓数学能力.

3.3 有机融入文化的元素

台湾地区《普通高级中学数学课程纲要》也强调,引进与主题相关的数学文化,对学生会起正面的作用,尤其能协助学生将抽象观念具体化.因此,台湾大学入学试题也充分体现了这些课程理念.

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例4是一个与数字游戏相关的问题,而且是一种常见的游戏.我们大家很小的时候都玩过.

例5(2015年“学测”多选题第5题) 小明参加某次路跑10公里组的比赛,下表为小明手表所记录之各公里的完成时间、平均心率及步数：

完成时间平均心率步数第一公里5:00161990第二公里4:501621000第三公里4:501651005第四公里4:55162995第五公里4:401711015第六公里4:411701005第七公里4:351731050第八公里4:351811050第九公里4:401711050第十公里4:341881100

在这10公里的比赛过程,请依据上述数据,选出正确的选项.

(1)由每公里的平均心率得知小明最高心率为188；(2)小明此次路跑,每步距离的平均小于1公尺；(3)每公里完成时间和每公里平均心率的相关系数为正相关；(4)每公里步数和每公里平均心率的相关系数为正相关；(5)每公里完成时间和每公里步数的相关系数为负相关.(正确答案是(2)(4)(5)).

例5是一个与体育比赛及身体状况相关的问题,是一个与我们生活十分密切的问题.统计台湾地区近三年的大学入学试题,还有很多融入文化元素的考试题.比如,瓷砖铺地、飞机机票、电器串联、人工受孕、花盆摆放、房屋贷款、不同商品包装价格、考试成绩统计、汽车方向盘旋转、钟的时针与分针交叉、男女生相邀旅游等问题,都充分融入了文化的元素.这样的试题密切了数学与文化的关联,使学生切实感受到文化情境中有数学,数学内在于文化情境,抽象的数学问题得以具体化.

4 启示

大陆近三十年来的高考数学试题,无论是全国出的试卷还是某些省单独出的试卷,都固定是三类题型,即单选题、填空题、解答题.解答题总是6个大题,最后两题一般是综合性很强的难题,需要用到非常高超和灵活的解题技巧.比如2016年高考数学全国卷的最后两题,很多省份考生平均得分在0.1至0.3之间,这就失去了试题的选拔功能,也形成不了区分度,实际成了两道废题.试题编制要符合学生的认知能力,不要随意拔高或降低难度,或超出课程标准和考试大纲规定的范围．我们要学习台湾大学入试题的命题原则与方法,减少解答题个数,增加多选题,同样能考查到学生观察、分析和解决问题的能力,特别是阅读理解、逻辑推理、运算和求解能力,还能避免偏题、怪题和难题,达到真正选拔人才的目的．

台湾《普通高级中学数学课程纲要》的一个基本理念是,“避免形式化的数学学习,要将学生所学的数学与现实世界连接.因此以生活上需要或是其他学科需要的数学内容,形成高中数学的核心内容”.从该理念出发,台湾大学入学数学试题十分注重与现实世界的联系,解决生活情境中的数学问题.20年前,大陆高考命题采纳了张奠宙与苏式冬两教授的建议,在高考试题中增加应用题,曾获得普遍的肯定.但不久高考中的应用题就被概率统计题代替.其实很多概率统计题的背景没有生活气息,考生感觉不到数学与生活的相互渗透与融合的美感,至使整套试题显得过于抽象和刻板.长此以往,学生怕见到应用题,读几遍都读不懂题意,即使读懂也不会建构合适的数学模型来解决问题.因此,学生的阅读能力、理解能力和解决生活中实际问题的能力没有得到锻炼和提高.我们要借鉴台湾大学入学试题的命题原则与方法,大比例增加具有生活气息的考试题,藉此可以比较全面地培养学生的数学能力.