论学生思维参与的数学概念教学*——以“圆中有关的角”的概念教学为例

伍春兰 张 勃

(北京教育学院数学系 100120) (北京市房山区良乡第二中学 102488)

在多次教师培训中，笔者曾就概念教学对数学教师调查．100%的教师坚称非常重视概念教学，而对学生数学学习出现的最大问题，也常归因于他们概念不清，或没有掌握概念．矛盾现象表明：辛苦认真地数学概念教学的效益不高．

尽管人们从哲学、心理学和生理学等角度，阐释的“思维”定义并不一致，但通俗而言，思维就是动脑筋进行思考．我们平常所说的“想”、“思考”、“考虑”等就是思维活动．[1]

笔者主张的学生思维参与的数学概念教学，就是学生将思维贯穿到概念学习过程的始终，逐步养成其思维参与学习的自觉意识，从而不断提升其思维品质．参与数学概念学习的思维方法包括观察、比较、分类、分析、综合、抽象、概括、类比、归纳、联想、猜想、—般化、特殊化等．

下面以“圆心角”和“圆周角”引入的个案，探求数学概念教学中学生思维参与的可行路径．

1 学习内容简析

追求数学概念教学学生思维参与，首先需要对教学内容系统地思考．

“圆中有关的角”包括圆心角、圆周角、圆内角、圆外角和弦切角等，这些概念既可以算作约定式定义，也可以视为关系定义．从关系考虑，它们可看成圆和角两种几何基本图形组合形成的具有研究价值的特殊角．因此，在理解圆中有关角的概念时，依据角的元素(顶点、两条边)，可从角的顶点与圆的位置关系和角的两边与圆的位置关系两方面考察．同时还要关注到概念引入的必要性：值得研究且可以研究．尽管圆内角、圆外角和弦切角不是《义务教育数学课程标准(2011年版)》的“规定动作”，但是其内容在教师的引导下学生可轻松了解，所以教科书有相应的习题让学生研习，这样不仅有利于他们在整体建构“圆中有关的角”的知识体系中理解圆心角和圆周角，而且在此建构过程中经历了数学思考．

圆是初中学习的最后一个基本平面图形，一般教材安排在九年级学习，因此圆心角和圆周角内容教学中横向和纵向地系统思考是合理的，也是必要的．

2 圆心角第一课时设计分析

2．1 设计

教师U、V和W教龄分别是4年、11年和19年，他们都是普通学校的初中数学教师．

教师U结合示意图(见图1)，给出圆心角的定义；然后拖动角的顶点(在圆内、圆上和圆外)演示，学生辨识圆心角．

教师V让学生看教材圆心角概念，然后学生画图举例说明什么是圆心角，教师再补充出示辨析题(正例及反例)．

教师W让学生边观看课件边思考，初始状态如图2，正方形ABCD的中心与圆心O重合，点A、B、C、D在圆上，思考：

(1)正方形ABCD绕圆心O旋转90°，你发现了什么？⊙O绕圆心O旋转90°呢？

(2)正方形ABCD绕圆心O旋转任意角度α(α不是90°、180°、270°、360°)，你又发现了什么？当⊙O绕圆心O旋转任意角度α呢？

(3)如图3，请标出正方形ABCD绕圆心O旋转的角α，并尝试给这类角起个名字并用文字语言描述这类角．

图1

图2

图3

图4

在上述3个问题基础上，学生了解了圆的旋转不变性，标出旋转角(如图4)，了解了圆心角概念．

2．2 访谈

笔者询问教师U和教师V：概念引入的方法，您一般都是采用这种模式吗？两位老师称“基本上”．

接着笔者与三位教师交流了如下四个问题：

(1)您认为不先告知学生圆心角的定义，学生能猜出圆心角的内涵，并用图形语言表示吗？

(2)反过来，如果只给若干圆心角的图形，学生能用文字语言概括并恰当命名吗？

(3)上述两种引入方法，会很费时间吗？

(4)教师提供的辨析练习改换为学生编题活动，学习效果会更好吗？

对于前三个问题，三位教师都明确表示大部分学生可以做到，两种引入方法不会太费时间．对于问题(4)三位教师认为学生编题活动可以提高学生的参与，教师V和教师W都表示以后可以尝试一下，而教师U担忧自己的学生太差，大部分学生会有问题．

笔者又向教师W探寻：您怎么想到用“圆的旋转不变性”引入圆心角．教师W说：我用的人教版教材在引入圆心角概念前，有个探究“圆的旋转不变性”活动，但是教材设计的那个活动，只是让圆绕圆心旋转，没有一个参照物，感觉做不做这个活动对学生理解“圆的旋转不变性”没什么区别．于是我想嵌入一个圆内接正四边形(圆内接多边形概念教材是在圆周角概念后才介绍的，但这不影响什么，我先不出此概念就行了嘛)帮助学生理解，也顺便引入了圆心角概念．

2．3 评析

对于圆心角概念，教师V让学生看教科书，可是给学生的时间不足以让学生思考，而多数学生也不知怎样思考，所以只是扫视一下点到为止，这与教师U直接告知的教法没有本质区别，然后两位教师通过正反例辨识，进一步认识概念，达到了快速了解圆心角的目的．

其实稍微改变以下两点，学生思维参与的机会就能增加．第一，揭示圆心角内涵前，先让学生从文字语言及图形语言合情猜想什么是圆心角，或给出若干图形让学生为其命名并用文字语言概括(下定义)．第二，将教师提供的辨析题改换为学生活动：请画出不是圆心角且与圆相关的角，并分类．此活动是学生能完成又具有挑战性的任务，因此他们乐于参与，不仅思维得到锻炼，而且对“圆中有关的角”也有了整体认识．通过访谈，教师基本认可上述观点．但是由于教学习惯，以及自己学生数学成绩差和学生学习能力低的现实，教师会以低认知的活动教学，降低思维难度．笔者曾在若干生源较弱的学校，以上述方式借班进行概念教学，他们感受到思考的魅力，学生云：“这节课让我感受到了数学的开心快乐和其中的奥妙”．这从另一个方面佐证了以学生学习水平低而忽视学生在学习中的思考的教法是误区．

教师W借助圆内接正四边形，使学生不仅容易理解圆的旋转不变性，也充分暴露了旋转角——绕圆心旋转的角，这样圆心角引入的必要性得以展现．圆心角引入的必要性除了可从圆的旋转不变性入手，也可以从圆弧的角度(或弧度)考量．圆弧是一条曲线，当两条圆弧长度相等，这两条圆弧不一定能重合，这意味着两条圆弧未必相等．因此圆弧的特征量除了长度以外，还需要其它量．角度制规定周角的1/360是1度，因此把圆周等分成360份，每一份这样的圆弧规定为1°(度)的弧是合理的，即圆弧的另一个特征量用其度数刻画就顺理成章了，而且弧的度数等于圆心角的度数．其实用角的另一种度量单位——弧度制的弧度数来说明就更好理解了，只是弧度制不是初中的学习内容．这样用圆心角的大小来刻画圆弧，说明引入圆心角的必要性，以及圆弧在研究圆中有关角的关系时所起的桥梁作用(圆弧把圆心角、圆周角、圆内角、圆外角和弦切角联系起来)，还是值得让学生思考的．

3 圆周角第一课时设计分析

3．1 设计

教师甲、乙和丙教龄分别是5年、7年和20年，他们都是普通学校的初中数学教师．

教师甲首先创设情境：射门游戏中，大门在AB，分别在⊙O上的C、D、E处射门(见图5)时，形成3个张角∠ACB，∠ADB，∠AEB，这3个张角大小有什么关系？接着指出这3个张角叫做圆周角．然后让学生给圆周角下定义，学生回答顶点在圆上的角叫圆周角．教师甲出示图6和图7，让学生进一步完善圆周角概念，并让学生思考圆心角概念为什么不附加“两边和圆相交”这一条件？

教师乙在复习圆心角的基础上，指出今天学习另一种与圆相关的角——圆周角，然后让学生看教材圆周角概念，并完成导学案的2个问题：(1)顶点在，并且和圆的角叫圆周角；(2)与圆心角定义比较，圆周角概念不附加后面的条件行不行？

教师丙先给出一组图(见图6—图12)，让学生猜想7个∠ACB共性是什么？学生回答共性是顶点在圆上．教师丙追问：图8—图12中5个∠ACB共性还有什么？学生有些疑惑，教师丙提示观察角的两边，学生马上回答角两边和圆相交．教师又进一步提问：能给这类角起个名字吗？学生起名为圆周角，也有个别学生起名为圆上角．教师丙肯定了学生的命名，让学生给圆周角下定义，同时与圆心角概念比较．最后让学生将圆周角分类，并说明分类标准．

图5

图6

图7

图8

图9

图10

图11

图12

3．2 访谈

笔者：您(教师甲)创设射门游戏引入圆周角的意图是什么？

教师甲：新课程倡导从实际出发，这个情景我是参考×版的教材改编的，就是想让学生发现生活中处处有数学，激发他们的学习兴趣．

笔者：您(教师乙)的导学案有关概念教学基本都是这样设计？

教师乙：对，通过挖掉概念的关键字、词，教会学生抓住概念的重点．

笔者：您(教师丙)认为不给出学生圆周角图形，让他们自己通过画图将圆周角分类，并寻找分类标准，是否可行．

教师丙：可行，就是开始会很乱，时间也许会多些．

3．3 评析

教师甲、乙和丙的教法省时，学生学得明白，但学生的思维参与不够．相比较3位教师的设计，教师丙的教法，学生思维参与的多些，但还是有些代替．

圆周角概念是继圆心角概念之后学习的，两个概念某种意义而言是并列的，所以研究圆周角概念，让学生独立探究：什么是圆周角？哪些不是圆周角？圆周角如何划分？圆周角与圆心角的区别与联系？

圆周角的内涵有两条，一个是顶点与圆的关系，一个是角的两边与圆的关系．顶点在圆上学生基本都能自然想到，而角两边与圆相交不经提示会忽略．如果在学习圆心角时让学生思考过角两边与圆的关系(虽然圆心角概念不必提及角两边)，这样学生不仅经历思考问题的全过程，也促使学生学习圆周角时，能主动思考角两边与圆的关系．

教师甲创设射门游戏是编造的，还需要新的概念“张角”，而且课堂观察发现此情景也没有引发学生参与学习的热情，因此这样引出圆周角概念并不是最佳的．事实上，弧面黑板、弧面屏幕、大会议室弧形摆放的桌椅等，都是与“圆中有关的角”相关的现实问题．好的现实问题引入，应该是真实的，适切学生并能引发其积极思考的，如果达不到这一目标舍弃反而更好．

教师丙让学生划分圆周角，为后面学习圆心角与圆周角关系定理证明时，突破分类讨论的难点做了铺垫，也加深了对圆周角的认识．但教师丙先提供了各类圆周角示意图，降低了思维难度，而这个难度学生是能够挑战的．如果尝试让学生自己画图将圆周角分类，为学生提供多角度思维空间：以角的大小(锐角、直角、钝角)、圆心与角的两边关系(圆心在两边内、圆心在边上、圆心在两边外)、角所对的弧(优弧、劣弧、半圆)等划分圆周角．

4 概念教学建议

上述6位教师的概念课片段，是从笔者不同培训项目或活动中遴选的．在概念教学第一课时，笔者发现下列现象司空见惯：教师先展示一个似与概念相关的情景(有时此环节省略)，再照本宣科地抛出概念，或学生看教科书中概念的表述，然后教师提出该概念的注意事项，最后是理解概念的相关练习，比如通过关键字、词设计的填空题，正例反例判断题，简单的应用等．这种被教师牵引的仅围绕概念“是什么”展开的教学，学生的思维参与及情感投入都是低水平的，很难和概念形成亲密关系，对概念的理解是肤浅的在所难免．因此，提高学生的思维参与，是数学概念教学急需解决的问题．

4．1 并联设计章节内的概念，为学生提供更多的思维活动

章节内如果涉及几个概念，教材编排顺序是第一个概念及相关命题(性质、判断等)，接着是第二个概念及相关命题……，这样的线性结构，逻辑清楚流畅，难度小．当概念间关系密切，可打破这种串联方式，为学生提供高认知的思维活动．比如从角与圆位置关系，将圆心角、圆周角，甚至圆内角和圆外角并联引入，再研究它们的若干性质．这样学生更多地经历观察、比较、分析、归纳、概括、抽象等思维活动，而且从结构上将学习内容联在一起，有利于知识的掌握．

4．2 拉长概念引入和建立的思维链条，让学生的思维参与更深入

数学概念教学通常分为引入、建立、巩固和运用等四个阶段，观察发现很多教师概念的引入和建立匆匆忙忙，而概念的巩固和运用扎扎实实，这是一个误区．概念的快速和盘托出，失去了引发学生学习兴趣的契机，也失去了沿着数学家形成概念的路径再创造的时机．

拉长概念引入和建立的思维链条，可通过下列途径实现：了解概念的来龙去脉；从实际或其他学科及数学角度，探究概念建立的必要性和合理性；尝试给概念命名、下定义，特别是约定式定义，及关系定义；对定义的进一步反思等．

4．3 寻找新概念可利用的前概念，给学生的思维参与以方向

对于上下位概念、并列概念、类比概念等，当其中之一已学习过，再学习相应的概念就应该给学生更多地自主空间．当学生思维受阻时，启发学生联想相应前概念研习的方法和结论．

4．4 指导研究概念的方法，使学生思维参与成为自觉

学习了新的概念，学生往往自觉没有问题，教师却提出了一系列注意问题．这说明学生还缺少独立研究概念的能力，所以教学初期要暴露教师是怎样发现和提出问题的，渗透研究概念的方法，

以后再逐渐放手，养成学生思维参与的自觉意识．

数学概念既是我们思考数学问题的逻辑起点，其本身也是饱含思维含量的学习资源．因此在数学概念教学中，提高学生的思维参与，既是培养学生数学思维能力的刚性需求，也是以学生发展为本教育观的专业体现．