“勾股定理”章节中史料编排变迁之研究——以人教版中学数学教科书为例

张冬莉 李春兰

(内蒙古师范大学数学科学学院 010022)

数学史在数学学习、教学及研究中占据了很重要的位置，这在国内外学者中基本上已经达到共识.如英国数学家格莱歇尔(J.W.L.Glaisher, 1848-1928)在其数学研究生涯的始终，一直爱好和研究数学历史，他认为“如果试图将一门学科和它的历史割裂开来，那么没有哪门学科会比数学的损失更大”.美国数学家克莱因(M.Kline,1908-1992)指出“每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史有许多理由，但最重要的一条理由或许是数学史是教学的指南”.荷兰数学教育家弗赖登塔尔(H.Freudenthal,1905-1990)认为数学史应该是数学教师用于数学教学的必备知识[注]汪晓勤，韩祥林.中学数学中的数学史[M].北京:科学出版社,2002：1-5..

勾股定理始终是中学数学教科书中的经典内容之一，故对数学教科书中勾股定理编写的重视程度逐渐增强，内容的编排也是逐渐优化，通过渗透数学史知识，让学生更好地掌握数学思想方法，激发学生的学习兴趣，培养探索精神，加强历史的熏陶.

由于我国在教科书编写上实行统一大纲(课程标准)和统一教科书的制度，教学大纲(课程标准)成为教科书编写的主要依据.1949年10月1日，中华人民共和国成立以来，教育部先后进行了多次课程改革，我国中学数学教科书的编排也随之改变.依据中学数学教学大纲(课程标准)的变迁，可将中华人民共和国成立以来的数学教科书分七个阶段来阐述，但因为1966-1976年,“文化大革命”十年，整个教育领域受到重大影响，数学教育系统遭到了破坏，全国没有统一的教学计划和教学大纲，而之前的数学教科书一律停止使用，负责编写出版全国中小学数学教科书的人民教育出版社也停止了工作，很多地方着手自编教材，故该阶段的数学教科书在本文不做研究.

本文着重论述以下六个阶段我国人民教育出版社出版的中学数学教科书[注]1949-2013年人民教育出版社出版的中学数学教科书是本文的主要参考文献.“勾股定理”章节中的史料编排及特点分析：(1)1949-1952年，教育部颁发了《中学暂行教学计划(草案)》，这是新中国第一份教学计划(1950年8月)，1951年国家正式发行新中国成立以来的第一套中学数学教科书；(2)1953-1957年，国家共颁布了五个教学计划，1956年国家正式发行新中国成立以来的第二套中学数学教科书；(3)1958-1965年,这一时期是我国“左”倾思想影响萌芽的时期，1958年“大跃进”引发了“教育大革命”，此阶段出版了第三套和第四套供全国通用的中学数学教科书；(4)1977-1985年,“文化大革命”结束，拨乱反正，1978年颁发《全日制十年制中小学教学计划试行草案》，统一规定全日制中小学学制十年，1980年出版了新中国成立以来全国统编的第五套中学数学教科书；(5)1986-2000年,实施九年义务教育后编写的初中几何教科书，此阶段出版了第六套—第九套中学数学教科书；(6)2001年至今出版的数学教科书可视为第十套和第十一套.在此需要指出的是，在资料的查询过程中，一些数学教学改革实验中所出版的中学数学教科书，因使用范围窄或者印刷册数较少，并未一一囊括.

1 勾股定理章节中的史料编排概述

1.1 1949—1952年中学几何教科书

由刘薰宇编写的《初级中学平面几何课本》，包括两册.第一册，1951年3月原版；第二册，1951年8月原版；这是建国后我国第一本初中几何教科书，依照中央人民政府教育部1950年颁布的《普通中学教学参考适用数学精简纲要(草案)》，并参考中南军政委员会教育部的《中等数学教材精简纲要》编写的.该书在“编辑大意”中提到：为了使读者认识祖国的伟大，对于我们的祖先在几何上的贡献，只要是读者可以接受的都要提到，同时希望教师们在教学的时候加以发挥，使读者感到做为一个祖国的人民是值得骄傲的，因而对于祖国产生崇高的爱敬以及对于民族有坚强的自信心.这套教科书是人民教育出版社成立后出版供全国统一使用的第一套几何教科书.勾股定理章节编排在第二分册的第三章§220，该书关于勾股定理的介绍如下：

220.定理直角三角形的两直角边的平方的和等于它的斜边的平方.

[假设] △ABC的C角是直角，∠A，∠B和∠C所对的边分别用a，b和c表示.

[终结]a2+b2=c2.

[证明]在上图中作CD⊥AB,设AD=d则DB=c-d，AB:AC=AC:AD，和AB:CB=CB:DB，即c:b=b:d和c:a=a:c-d.所以b2=cd和a2=c(c-d)=c2-cd，两式相加就得a2+b2=c2.

注：这个定理在欧洲都叫做毕达哥拉斯定理，因为它是由希腊的几何学家和哲学家毕达哥拉斯(公元前580—500)首先发现的.若直角三角形的两直角边分别等于3和4则斜边就等于5，这样的特殊的直角三角形叫做埃及三角形，因为古代的埃及人发现的.

在我国《周髀算经》上商高也就知道了这种埃及三角形，而叫做勾股形.对于勾股形和它的内切圆，从前我国的数学家有不少的研究.所以这个定理可以叫做商高定理.

依照勾3股4弦5的法则，我们可以利用一条绳子在地上作直角.方法是这样：如下图所示，将一条绳子的两头结起来.把它分成3:4:5三段.固定3,7和12中的一个分点，再拿住其他两个分点把绳子拉直成一个三角形，这样一来，在3那一点的角就是直角.这个方法古代的埃及人已经懂得用了.应用三边成3,4,5的比作成直角三角形，我国也是很早就知道的.

该书首先对定理进行描述，然后提出假设、终结和证明.证明方法是利用直角三角形中三边的比例关系进行论证.在例题结束后，融入了相关史料介绍.介绍了该定理在欧洲叫做毕达哥拉斯定理，并且也说明在我国《周髀算经》中，商高也提出这种埃及三角形叫做勾股形.体现出我国历史上对几何发展所作出的贡献.对于定理的证明，理由叙述的很少，目的是留作教学时教师们便于随时发问使读者自行思索.值得注意的是，在该时期，没有将定理命名为勾股定理，只称为定理，并说明它可以叫做商高定理.

1952年，东北人民政府教育部编译的《初级中学课本平面几何》(全)是第二套全国通用的中学几何教科书，由于编译本是全面参照苏联的“十年制学校中学数学教学大纲”编写，而我国的中小学是十二年制，因此几何内容有所减少，该书中没有编排勾股定理内容.

1.2 1953—1957年中学几何教科书

1953年，由刘薰宇编写的《高级中学课本平面几何》，该书对定理的表述、假设、终结、证明、例题与1951年的完全相同，但是在史料中补充到：“不过，在‘周髀算经’中这个定理的一般形式即‘勾方加股方，开方后得弦’，是陈子回答荣方所提出的，因此也有人主张叫陈方定理.

由余元庆、奚今吾、管承仲、吕学礼编写的《高级中学课本平面几何》，包括两个分册.第一分册，1955年3月第一版，1955年秋季开始使用；第二分册，1955年8月第一版，1956年春季开始使用.这是根据1956年颁布的《中学数学教学大纲(修订草案)》编写而成.该大纲在史料编排上要求要充分注意教给学生数学的历史知识，特别要介绍关于我国杰出数学家的生活和成就.

勾股定理内容则出现在第二分册的第三章“三角形中及圆中各线段间的相互关系”，其中第四章§43直接给出勾股定理的表述.

43.勾股定理在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.

已知:△ABC中，∠C是直角；BC=a，AC=b，AB=c.求证：c2=a2+b2.

上面的定理我国在秦朝以前就已经发现，在现在还保存下来的一部古算书(周髀算经)里就载有直角三角形两条直角边和斜边间的这样的关系.我国古代的算书上把直角三角形的两条直角边分别叫做勾和股，斜边叫做弦，因此上面的定理叫做勾股定理.

该书在直接给出勾股定理的表述后，渗透了数学史的记载、描述和论述.在学习该内容时，学生已经掌握了三角形的相似、射影和比例中项的内容.书中在证明勾股定理时采用的方法是利用三角形相似，对应边的比例关系，此方法是建立在原有的认知基础上进行的，充分地照顾了学生的理解程度，有利于学生的理解与掌握.这一时期的几何教科书注重基础知识，讲法比较简明，开始注重数学史的引入，介绍一些重要概念和定理时，提到相关历史故事，借以提高学生学习几何的兴趣.通过对我国古代《周髀算经》的了解，激发学生的爱国主义思想，树立民族自尊心.

1.3 1958—1965年中学几何教科书

人民教育出版社编写的《初级中学课本平面几何(暂用本)》(全一册, 1960年第一版)是根据《关于修订中、小学数学教学大纲和编写中、小学数学通用教材的请示报告》(1960年)的调整意见以及《十年制学校教学教材的编辑方案》(草稿)的精神编写的[注]课程教材研究所.20世纪中国中小学课程标准教学大纲汇编(数学卷)[M].北京：人民教育出版社，2001:427—429..在该暂用本中，改变了从公理出发的欧几里得公理体系，着重讲解生产中和进一步学习时有用的知识，并且注重画图、测量等技能的培养.但存在的问题是，由于该书的内容删减过多，这本书使用了一学年便停止使用，换用《初级中学课本平面几何(暂用本)》第一册与第二册.其中，第一册出版于1961年第一版，第二册出版于1962年第一版.但是两个版本的教科书对勾股定理章节的史料引入却并不相同.

《初级中学课本平面几何(暂用本)》(全一册)中第五章相似形的§4为勾股定理.该书对勾股定理的介绍如下：

我国古代，把直角三角形的两条直角边中短的一边叫做勾，长的一边叫做股，斜边叫做弦.还在远古时代，我国劳动人民就知道“勾三股四弦五”的事实，就是说，如果勾股分别是3个和4个长度单位，那么弦就是5个长度单位.在秦朝以前的一部古代数学书“周髀算经”里，还载有一个更带有普遍性关系，就是说，在任何直角三角形中，都有勾2+股2=弦2的关系，这个关系叫做勾股定理.

69.勾股定理

在下图的直角三角形ABC中,AB2=BC·BD，AC2=BC·CD.把这两式的两边分别相加，就得：AB2+AC2=BC·BD+BC·CD=BC·(BD+CD)=BC2.

这就是说：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.也可以说：如果在直角三角形的三边上各作正方形，那么，斜边上正方形的面积，等于两条直角边上正方形的面积的和.

《初级中学课本平面几何(暂用本)》第一册中第五章，多边形的面积的§5.8，介绍了勾股定理，如下：

5.8勾股定理我们把直角三角形的两条直角边分别叫做勾和股，把斜边叫做弦.直角三角形的勾、股、弦之间，有下面定理所说的关系.

勾股定理直角三角形弦上正方形的面积，等于勾上正方形的面积与股上正方形的面积和.

已知：下图中ABC是直角三角形，BEDC是它的弦BC上的正方形，AGFB和ACHK分别是它的勾和股上的正方形，求证：正方形BEDC的面积=正方形AGFB的面积+正方形ACHK的面积.

勾股定理我国在秦朝以前就已经发现，在现在还保存下来的一部古代数学书(周髀算经)里就载有直角三角形勾股弦之间的这样的关系.

1960年教科书在§4开始前引入史料，介绍我国古代的《周髀算经》中记载了直角三角形三边的关系.通过§67“点的线段在直线上的射影”和§68“直角三角形中弦上的高”两个小节，引出勾股定理，并且给出了两种表述方式.1961年教科书介绍直角三角形的两条直角边的名称后，直接给出勾股定理的表述.但是，表述的方式与之前的版本有很大不同.该表述是从图形分割、全等三角形以及面积的关系等知识的角度进行描述.证明过程采用欧几里得的证明方法，在这一时期，明确提出了欧几里得公理体系的地位.中学的几何科应该以一些公理作为出发点，推导其定理.[注]课程教材研究所.20世纪中国中小学课程标准教学大纲汇编(数学卷)[M].北京：人民教育出版社，2001:437.在史料的介绍中不仅提到了我国古代数学书《周髀算经》，而且新加入了关于赵爽注的《勾股圆方图注》的介绍.在本着爱国主义的精神下，拓展了学生的视野.

1.4 1977—1985年中学几何教科书

1978年3月，人民教育出版社编辑出版的教科书是为了学生的学习，将1966年编写的一套没有正式出版的数学教科书《几何》，共两分册，作了一些必要的修改后出版.勾股定理章节设置在第一分册第六章相似形的§4，勾股定理是直接给出的，之前没有做任何铺垫，直接用直角三角形三边的关系定义.

1981年人民教育出版社数学编辑室编写了《全日制十年制学校初中课本(试用本)几何》，共分两册，勾股定理章节出现在第一册的第二章三角形的第四节.在该教科书的基础上，于1983年又编写了一套初中几何教科书，在《初级中学数学课本 几何》(1983年)中，勾股定理章节设置在第五章，面积、勾股定理的§2.通过正方形的切割以及等腰直角三角形的演绎推理，给出了勾股定理，并且用字母表示出来.同时又说明了勾股定理的逆定理也成立，并给出了相应的证明.

《全日制十年制学校初中课本(试用本)几何》第一册，勾股定理章节的史料介绍如下：

2.17勾股定理

作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于3cm和4cm，量它的斜边的长量得斜边等于5cm.在我国古代一部数学书《周髀算经》上有“勾三股四弦五”的记载，意思是，如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边一定是5(古代把直角三角形中较短的一条直角边叫做“勾”，较长的一条直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”).

想一想，32+42是不是等于52？这说明，在直角三角形中，分别以两条直角边为边的两个正方形面积的和等于以斜边为边的正方形的面积.

勾股定理在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方的和.

《初级中学数学课本 几何》(1983年)教科书中，勾股定理章节的史料介绍如下：

5.3勾股定理

定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方.即a2+b2=c2.

在我国古代，一部数学书《周髀算经》中有用边长为3、4、5的直角三角形来进行测量的记载，并把直角三角形的两直角边分别叫做勾和股，斜边叫做弦.因此，我们把上面的两个定理分别叫做勾股定理和它的逆定理.勾股定理是数学中最常用的定理之一.在国外是古希腊人毕达哥拉斯首先发现这个定理的，所以把它叫做毕达哥拉斯定理.

1981年教科书在介绍《周髀算经》的同时，还将“勾三股四弦五”的意思作了解释说明.该章节在脚注中标注了“这里所讲的证明勾股定理的方法，是我国古代另一部数学书，赵爽著《勾股圆方图注》中的证明方法”.

1983年教科书在表述勾股定理的同时，相继提出了勾股定理逆定理也成立.这一时期的教科书编写知识体系比较完整，脉络比较清晰.西方的课程理论、教育理念和心理学理论大量被引进.国外的经验成为我国中学数学教育现代化过程的一个重要方面.此时，勾股定理章节史料的引入不再只停留在我国古代的成果，开始注意西方的数学文化，开阔了学生的视野，也激发学生的对西方知识学习的意识.

1.5 1986—2000年中学几何教科书

1986年《中华人民共和国义务教育法》的颁布，意味着全面教育的发展逐步扩大.这一时期颁布的大纲，明确规定在教学过程中通过对我国古今数学成就的介绍，培养学生的爱国主义思想，民族自尊心，为国家富强、人民富裕而艰苦奋斗的献身精神；要通过介绍我国数学史，以及我国社会主义建设的成就和数学应用，激发学生民族的自尊心和爱国主义的思想感情，使学生逐步明确要为国家富强、人类进步而努力学习；要视条件许可注意阐明数学产生和发展的历史，并经常介绍我国和其他国家的古今数学成就，以及数学在现代科学技术、社会生产和日常生活中的广泛应用，使学生逐步明确要为国家富强、人民富裕而努力学习.

《九年义务教育三年制初级中学教科书 几何》全套教科书共三册，第一册与第二册出版于1993年，第三册出版于1994年.勾股定理章节出现在第二册第三章三角形的§5，其中史料的介绍如下：

3.16中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.据《周髀算经》记载，西周开国时期(约公元前1千多年)有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.

人们还发现，在直角三角形中，勾是6，股是8，弦一定是10；勾是5，股是12，弦一定是13，等等.而32+42=52，62+82=102，52+122=132，…，即勾2+股2=弦2.是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个结论.我国把它称为勾股定理.

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方.即a2+b2=c2.

1993年教科书先是史料的引入，提到我国古代的《周髀算经》，并且讲述了商高与周公的对话，扩展了《周髀算经》的内容，语言生动活泼，使学生进一步了解有关勾股定理的发展历史.该章节采用拼图的方法来证明勾股定理，以学生的生活经验为出发点，注重学生的动手操作能力.

1.6 2001年至今中学几何教科书

2001年7月教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》，从时代的背景出发，对数学教育技术等方面阐述了数学课程改革的基本理念，一切以学生的发展为本.这一时期，人民教育出版社编写的《九年义务教育三年制初级中学教科书 几何》(2001年)共3册和《义务教育课程标准实验教科书 数学》(2005年)共6册.

2001年教科书勾股定理内容设置在第二分册的第三章§5，引入方式和证明方法与1993年教科书的完全相同.《义务教育课程标准实验教科书 数学》(2005年)，其中勾股定理内容设置在八年级下册第十八章.《义务教育教科书 数学》(2013年)，其中勾股定理内容设置在八年级下册第十七章.2013年教科书的史料引入以及证明方法与2005年教科书基本相同，只在排版顺序略有变化.

下面以2005年教科书为例，介绍勾股定理章节的史料编排情况，内容如下：

相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.

图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形.利用赵爽弦图证明命题的基本思路如图2.这样就通过推理证实了命题的正确性，经过证明被确认正确的命题叫做定理.命题与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理.“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.

图1

图2

在教科书每章开头部分都配有前言，可作为教师导入新课的材料，并配有相应的插图.该版本教科书的史料引入是最丰富最新颖的，首先以故事的方式引入，并插入了毕达哥拉斯的肖像和简介(如图3).其次详细的讲述了赵爽弦图的证明方法，让学生认识到无论是我国古代还是在西方的科学史上都对勾股定理的发现做出了各自的贡献.

毕达哥拉斯(Pythagoras,约前580—约前500),古希腊著名哲学家、数学家、天文学家.图3

2 史料编排之特点

2.1 《周髀算经》贯穿在各个阶段的教科书中

从史料的内容上讲，1955年第二分册史料的介绍是最简洁明了的，直接指出我国一部古算书《周髀算经》记载的直角三角形三边的关系.1960年教科书(暂用本)的史料介绍的内容略比1955年教科书的多一点，1983年、1993年和2001年中史料的介绍依然以古代数学书《周髀算经》为主.为了进行爱国主义教育，教科书中编写了有关我国古代数学成就.

随着课程的改革，在教科书的编写过程中也逐步的积累了一些经验，关于史料的内容也不断地丰富，在1961年教科书第一册的史料与1981年教科书第一册的史料中不仅介绍了《周髀算经》，还介绍了赵爽的《勾股圆方图注》与“勾三股四弦五”的意义，较为全面的展现了勾股定理的历史.2005年教科书与2013年教科书将《周髀算经》的介绍放在了章前，作为阅读材料.

2.2 由单一的文字描述演变为图文并茂

1955年、1960年、1961年和1983年的教科书史料的描述都是直接给出的，都在以三角形三边的关系基础上直接给出勾股定理.1961年教科书在介绍《周髀算经》的同时，还介绍了赵爽的《勾股圆方图注》.随后，史料的介绍不再是单一的文字描述，而且语言描述上也变得生动活泼.数学史的融入也开始注重联系生活实际，以动手拼图或者探究的形式展开.2005年和2013年的教科书中绘制了毕达哥拉斯的肖像，同时也涉及到赵爽的弦图.从整体看，在一些数学教学改革实验中编写的教科书也独具特色.

2.3 由爱国主义教育过渡到了解多元文化

史料不仅是学生学习历史的基本素材,还是教科书“历史感”的重要体现,爱国主义是中华文化的核心，所以在中学数学教学大纲(课程标准)中要求要培养爱国主义以及民族自尊心.勾股定理章节中史料的内容从爱国主义教育逐渐增加且呈现出多元化趋势.从1983年开始，所出版的教科书，如《初级中学数学课本 几何》史料中渗透了西方文化，无疑带给学生耳目一新的感觉.2005年教科书与2013年教科书的史料介绍是以毕达哥拉斯生活中的事迹为主线，循序渐进地拓展加深了一些内容.

2.4 定理的证明过程中史料的渗透从无到有

1955年教科书勾股定理章节安排在高中阶段，在学习本章内容之前，已经掌握了射影、比例中项的内容，所以勾股定理的证明方法是根据相似三角形三边的比例关系得到的.1960年和1961年的教科书，勾股定理章节开始安排在初中阶段学习，供初二、初三年级使用.1960年教科书中勾股定理的证明方法继续用相似三角形，三边比例关系的证明方法，而1961年教科书中运用欧几里得的方法证明勾股定理，其核心是使用演绎法证明，但是原书中并没有提到这是欧几里得的证明方法，遗憾的是对欧几里得没有相应的介绍.1983年、1993年和2001年的教科书勾股定理的证明方法更为直观，运用拼图加深理解，培养学生的动手操作能力.2005年和2013年的教科书介绍我国古人赵爽的证法，先作“弦图”，然后进行代数运算，从而证明勾股定理.

3 结语

纵观1949年以来中学数学教科书在史料编排上，首先严格按照大纲的要求进行编写，并且在编写教科书、决定教法、实现的过程也遵循了三大原则：实用性原则，论理性原则、心理的原则，三者相互统一.数学在日常生活中已经存在其实用价值，然而仅仅是实用性原则也是不够的，不足以支撑整个数学教育，数学具有一定的逻辑性，教科书中的内容对于学生富于兴趣，枯燥无味的东西是不能够成为教科书的内容，所以就有了心理的原则[注]陈建功.二十世纪的数学教育[J].中国数学杂志，1952，(1)..有些教材虽然具有高度的实用性和理论性，假使学生不发生任何真实感，就心理的原则而言，这些教材就没有教育的价值了.其次我国古代数学书《周髀算经》贯穿各个阶段，内容上逐步增加了对商高和赵爽的介绍，表现出我国人民在数学上取得的成就.在培养学生爱国主义思想的同时，也对西方的数学成就和毕达哥拉斯作了相应的介绍，引进西方的数学文化.数学史的融入越来越丰富，推陈出新，努力通过文字的表述，插图和阅读材料，向学生介绍我国社会主义建设和改革的成就以及数学在科学技术领域的应用，介绍几何发展史和我国古今的数学贡献，激发学生爱国主义热情.