近几年中考数学(北京卷)几何综合题综述

王亮亮

(北京教育考试院 100083)

1 引言

北京中考数学几何综合题向来以创新和难度著称，一直引起广大师生的关注.一方面，试题对考生的几何基础、推理能力、抽象能力和论证能力等方面具有很高的要求；另一方面，试题背景新颖、内涵丰富思想深刻、方法质朴，对考生具有很好的区分功能.同时，也为初中数学教学指明了方向.但通过调研听课发现，由于试题的难度较大，很多教师在讲解时遇到了一些困难，如试题的内涵阐述不全面等.本文将以2012，2014，2015年几何综合题为例，对近六年的几何综合题做一次总结，与大家分享试题背后的思想和试题对教学的引导作用，希望能给一线教师提供一点经验.

2 2012，2014，2015年试题呈现

2012年在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.

(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

(2)在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；

图1

图2

(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围.

2014年在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.

(1)依题意补全图1；

(2)若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；

(3)如图2， 若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明.

图1

图2

2015年在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH.

(1)若点P在线段CD上，如图1，

①依题意补全图1；

②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；

图1

图2

(2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ= 152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)

3 试题综述

3.1 通过画图，抽象思维化为形象思维，发现解决问题思路

对于画图的要求，这是培养学生几何直观能力的基础.因为在画图的过程中，可以使学生体会到画图对于理解概念、寻求解题思路带来的益处.更重要的是，逻辑证明的过程、形式化的结论都是在形象思维的基础上产生的，这是画图作为几何直观能力基础的核心要义.

2012、2014、2015年试题的第(1)问都是要求学生补全图形.补全图形的过程，其实质就是将抽象的语言和研究对象“图形化”，把需要解决的问题、证明等数学过程变的更加直观，有助于进行具体的操作，并在此基础上有助于发现研究问题的思路.下面以2012(1)、2014(1)和2015(1)为例说明.

2012(1)

2014(1)

2015(1)

如2012(1)，补全图形后发现，BD是△ABC的对称轴，△CQM是在旋转与轴对称变换基础上形成的等边三角形等，这就为问题的解决提供了明确的思路——利用轴对称和旋转变换的性质研究图形.又如2014(1)，通过补全图形体会到AP是线段BE的垂直平分线，通过这一性质可以发现后面问题研究的角度——轴对称变换分析图形.再如2015(1)，补全图形后发现△BCQ是由△ADP平移得来的，可以根据平移的性质探索研究问题的思路.

3.2 重视几何变换，将变换性质作为解决问题的桥梁

几何变换是几何体系的核心内容，几何变换可以看作是图形运动，它是认识图形的基本方法，也是认识数学思想和方法的基本途径.通过运动变化理解轴对称、旋转和平移变换的基本性质，可以抽象出图形运动变化过程中的不变量和不变关系，从而为运用图形运动的方法研究图形的性质奠定基础，使其成为研究图形的桥梁.2012(2)、2014(3)、2015(1)都以几何变换的性质为桥梁解决问题，下面以2012(2)和2014(3)为例说明.

2012(2)以轴对称和旋转变换为基础.在第(1)问补全图形的基础之上，根据BA=BC，M是AC的中点，可推导出BD是△ABC的对称轴.根据轴对称的性质，可以连接PC和AD，进一步推导出BD是四边形ABCD的对称轴，所要求的∠BDC就转化成了求∠ADC.再根据旋转的性质，可以推导出△PCQ是等腰三角形，进而问题可求.问题的解决是以轴对称和旋转变换的基本性质为基础的，让问题的解决更加直观、思考问题的方向更加明确.

2012(2)

2014(4)

2014(3)以轴对称变换为基础解决线段AB，FE，FD之间的数量关系.在第(1)问补全图形的基础之上，可知对图形进行的是轴对称变换的操作.根据轴对称的性质，可以连接AE和FB，需要解决的线段AB，FE，FD之间的数量关系就转化成为了FB，FD，AB的数量关系.通过对图形的进一步分析可以发现，上述三条线段可以放到Rt△BFD中，即只需证明∠BFD=90°，而证明∠BFD=90°的核心思想也是利用轴对称的性质推导出∠ABF=∠DEA=∠ADE.问题的解决是在轴对称性质的基础之上，不断发现解决问题思路.

3.3 重视演绎推理，更加注重有条理表述思考过程

传统上对于推理能力的培养，往往被认为是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧.这样的认识是有局限性的.让学生经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，引导学生有条理地表述概念定义，引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系，让学生遵循证明规则，通过数学推理、证明数学结论……，这些方面都是推理能力的表现形式.

2015年第(2)问设问的方式就是基于上述表现形式的思考进行了一定的突破.写思路的立足点是让学生有条理的表述自己的思考过程，它的前提条件是“会做”此题.在“会做”的基础上，学生能根据条件和结论间的逻辑关系，阐述所解决问题之间的联系与区别，表达解决问题的思路.

2015(2)

通过分析可以发现，问题解决的核心是证明出△APH是等腰直角三角形.对两问的条件与结论进一步对比分析可知，证明AH=PH的过程是一模一样的，所以对这一相同过程可以用“与②同理，可证△AHD≌ △PHQ，可得AH=PH”来阐述 .而对∠AHP=90°证明过程的分析发现，在(1)②中是∠AHD+∠PHD，(2)中是∠AHD-∠PHD，所以在阐述这一区别时应该明确指出其推导过程“由∠AHP= ∠AHD-∠PHD=∠PHQ-∠PHD= 90°，可得△AHP是等腰直角三角形”.

对上面写思路过程的分析发现，有条理的表述思考过程的要求是证明过程的一种思维升华，它不仅仅要求学生“会做”题目，还要求学生能把题目的逻辑结构想明白、阐述清楚.

4 思考

4.1 几何直观能力与逻辑推理能力应并重

几何教学中偏向于逻辑推理能力的培养，忽略了几何直观能力的培养.正如试题描述中的阐述，图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于理解结论.图形可以把复杂的数学问题变得简洁、明了，学会用图形思考数学问题，也是数学学习能力的体现.

4.2 逻辑推理能力要落在思考过程中，而不是证明技巧中

推理能力的培养不能片面的认为是通过习题演练掌握更多的技巧，而是在过程中去逻辑性思考问题，有机的把握条件、结论间的逻辑关系，对问题的结构能有效的进行阐述，在过程中感悟逻辑思考的思维方式.

4.3 几何变换为桥梁，让图形运动起来，感受直观，培养理性

几何直观与逻辑推理是密不可分的.几何直观常常是靠逻辑来支撑的，不仅是看到了什么，而是通过看到的图形思考到了什么，这是非常重要的数学思考方式.通过思考，可以想象出一些可能点的结果或思路.利用几何变换这一桥梁，通过几何变换的基本性质研究、推导出图形的性质，不仅能对图形的本质进行认识，同时也是对几何直观的一种提升.它们是相辅相成，密切联系在一起的.

5 总结

本文以2012，2014，2015中考数学(北京卷)几何综合题为例，阐述了近几年几何综合题的发展趋势、主要特点和几点思考，主要是想交流一下题目背后的思想和对教学的引导作用，如有不当之处请批评指正.