基于Lagrange插值频率估计的数字电能计量算法*

2017-12-20张秋雁魏伟李红斌

电测与仪表 2017年5期

张秋雁，魏伟，李红斌

（1.贵州电网有限责任公司电力科学研究院，贵阳550000；2.华中科技大学，武汉430074）

0 引言

为实现电网的智能化，数字化变电站的发展成为不可逆转的趋势，目前数字化变电站存在两种数字电能计量方案［1-6］，一是采用电子式互感器采集高压侧电网信号，将其采样数据组帧为IEC 61850-9-2（LE）格式的数据包，并发送至数字化电能表进行电能计量；二是采用传统互感器和模拟量输入合并单元进行电网信号采集，并同样将采集数据组帧发送到数字化电能表进行电能计量。

传统变电站中电网信号采集过程中的采样频率由各个设备内部确定，电子式电能表采用每个基波周期采样128、256个点等，其采样每基波周期采样频率为2的整次幂，且其采样频率是跟随电网波形的频率波动的［7］，可以保证每个基波周期采样同样的点数，实现整周期采样，进行电能计量时，选择两种典型点积和算法及加窗FFT插值算法，由于采样过程为整周期采样，算法误差小，可以实现电能计量要求。

数字化变电站中电能计量属于新技术领域，相对于传统的电能计量系统，其主要区别之一就是采样频率由前端的电子式互感器或模拟量输入合并单元确定，由于电子式互感器及模拟量输入合并单元采集的信号组帧打包后，需要传输给包括继保及电能表等后续各种不同的IEC 61850数字化设备使用，因此，其采样频率固定，不跟踪电网频率的波动而改变，且广泛采用了4 kHz［8-9］。数字化电能表被动接收前端电子式互感器或模拟量输出的IEC 61850报文，内部电能计量算法沿用传统的电能计量算法，在电网频率出现波动时，电能计量过程中点积和算法误差偏大，且加窗FFT插值算法要求参与计算的点数为2的整数次幂，显然4 kHz条件下，如用加窗FFT插值算法，需要在运算过程中减小采样点数或在采样点数后边添零，这样必然会造成频谱泄漏和栅栏效应，从而不能准确的求出各次波形的幅值和相位，造成电能计量误差偏大。

因此，提出一种数字电能计量新算法，该方法首先采用三次拉格朗日（Lagrange）插值算法进行电网基波频率提取，然后利用DFT算法的栅栏效应提取出基波及各次谐波的幅值和相位，最后利用得到的电参量进行电能计量，从而实现精确的电能计量。

1 算法介绍

1.1 传统电能计量算法

电能计量过程就是有功和无功对时间的累积过程，本节将针对有功电能计量过程进行分析，取电能计量公式如下：

式中W为有功能电能；P为有功功率；t为时间。由于电网负荷的变动而造成有电能计量过程中有功功率P处于实时变化过程中，而P又可以由以下表达式求出：

式中Ui、Ii分别为电网中第i次谐波的电压、电流有效值，θi为 Ui、Ii之间的相角差。

从式（1）、式（2）可以看到，要想准确的计量电能值，必须准确的计算出电网中基波及各次谐波的电压、电流有效值及电压、电流之间的相角差。

传统电能计量系统中采用的点和和算法或加窗FFT插值算法（如国际电工委员会推荐的在时域加Hanning窗和在频率加插值的FFT算法）公式在此将不再过多的介绍，由于传统电能计量系统中电子式电能表内部具有频率跟踪电路，采样频率能保证整基波周期采样，且每基波周波采样点数一般为2的幂次方，因此，在电网波频率出现波动时，采用的电能计量算法也能精确的提取出基波及各次谐波的幅值、相角进行电能计量。

目前，在数字化电能计量系统中沿用了传统电通计量系统中的电能计量算法，由于传统电能计量算法在电网频率出现波动，而采样频率固定的条件下会出现不适用性，误差大，因此，针对数字化电能计量系统这一特点，提出一种数字电能计量新算法，该方法实现简单，能准确的进行电能计量。下面就本文提出的电能计量新算法进行介绍。

1.2 数字电能计量新算法

该数字化电能计量新算法包括三步，第一步：频率的提取，提出采用Lagrange三次插值算法进行电网基波频率提取，并推导出电网基波频率提取公式。第二步：波形成分提取，利用DFT算法的栅栏效应进行波形成分提取。第三步：电能计量，利用基波及各次谐波的电参量进行电能计量。算法具体介绍如下。

（1）频率提取

假设电力系统母线电压波形为正弦函数，即：

式中Um为电压幅值，f为电网频率，t为时间，φ为初相角。

通过采样频率Fs对上式波形进行采样，采样周期为Ts。由于电网基波频率不会是严格的50 Hz，因此，本文以电网基波频率出现波动的情况下来进行频率提取分析，当电网基波频率出现波动时，Fs不是f的整数倍，即出现非同步采样的情况，得到波形离散值如图1所示。

图中m，n分别为第m，n个采样点，t1，t2分别为波形的过零点时刻时间点。因此要求出波形的频率f，可以得到：

图1 波形采样图Fig.1 Sampling ofwaveform

所以，只要能精确的求出时间点t1，t2即能求出电网基波频率，目前，一般采用过零点检测方法，首先判断出m，n两点附近的过零点，再利用线性插值算法［10］，得出时间 t1，t2。由于线性插值算法是直接将过零点附近的两个点用直线连接，其波形不光滑，造成频率分析时，误差大，因此本文分析了包括Lagrange插值算法、埃尔米特（Hermite）插值算法、3次样条（spline）插值算法在内的多种插值算法后，利用仿真软件得到插值效果如图2所示。

图2 不同插值算法插值图Fig.2 Interpolation of different algorithm

从图中可以发现，采用Lagrange三次插值算法、Hermite插值算法、3次spline插值算法都能理想的接近插值点，且较线性插值算法而言，能对离散点进行光滑插值，插值误差小。此外，Lagrange三次插值算法较埃尔米特（Hermite）插值算法、3次样条（spline）插值算法而言，计算简单，容易在硬件上实现，因此本文提出采用拉格朗日三次插值算法来提取电网基波频率。

取采样点m，m+1，m+2，m+3处的电压值分别为 u0，u1，u2，u3，则利用 Lagrange三次插值算法可以得到其插值多项式如下。

式中 L3（t）多项式为电网电压波形的插值表达式；t为时间；Ts为采样周期，在数字化电能计量系统中Ts＝250μs。显然电网波形在过零点时的斜率最大，因此，要求图1中t1的值，即求插值多项式L3（t）的导数最大值或最小值，又因为L3（t）的的导数为一元二次的抛物线方程，要求其最大值或最小值，只要对其进行二阶求导，并计二阶导数的零值处的t值即为所示的t1值。经过推导可以得出L3（t）二阶求导如下：

令 L″3（t）＝0，可以得到 t的值为：

式中t即为所求的t1的值。同理，利用采样点n，n+1，n+2，n+3处的电压值可以得到时间t2的值。将t1，t2代入式（4）中即可以实现电网频率提取。

（2）波形成分提取

波形成分提取时，采用了DFT算法，DFT用于对电力系统谐波的分析已有很长的时间，其具有一个重要的特点就是栅栏效应，文中提出的电能计量新算法就是利用这一特点进行波形成分电参量分析，并进一步进行电能计量。DFT算法已有各类文献进行了分析介绍［11-13］，文中将不再过多对算法运算过程进行介绍，只对DFT算法的栅栏效应进行分析。

利用DFT算法进行频谱分析时，取N个采样点进行DFT运算，采样频率为Fs，则DFT运算时的频率分辩率为：

因此，DFT运算后频谱上某一点 k对应的频率为：

式中 k＝0，1，..，N／2。可以看出进行 DFT运算后得到的各个频率值与采样频率Fs、用于运算的点数N密切相关，且其以Δf为最小单位进行增减，这就相当于透过栅栏观赏风景，只能看到频谱的一部分，而其它频率点看不见，因此，很可能使一部分有用的频率成分被漏掉，此种现象被称为栅栏效应。

若在电网频率出现波动时，采用固定的采样点数进行DFT时，由于频谱泄漏及栅栏效应，在计算电网波形信号幅值时和相位时，造成误差偏大，因此，利用上面提取出的频率计算出参与DFT运算的点数，使其接近于整周期采样，参与运算的点数随着电网基波频率的波动而变化，点数计算：

式中N为参与DFT运算的点数，Fs为采样频率，f为电网基波频率，round为就近取整。利用N即可以由式（8）得到频率分辩率，DFT运算后的频率图，由于栅栏效应，刚好可以看到频率f处的模值，利用f处的模值除以N／2就是该频率对应的电网基波信号幅值，谐波分析同基波，在直流信号处模值除N为直流的幅值，同理，该点的相位即是对应该频率下的电网基波及各次谐波的相位。从而实现电网波形成分的提取。

如电网基波频率为50.5 Hz，采样频率为4 kHz时，参与DFT算法运算的点数为N＝3 960个点。得到参与DFT运算的点数后，即电网波形成分提取，包括基波及各次谐波的幅值和相位，利用上述的点数N，由式（8）得到DFT运算后的频率分辩率为：

可以由式（9）得到，第 k＝50时，DFT运算后的频率刚好对应为50.5 Hz处的模值，从而可以准确的得到基波及各次谐波的幅值和相位。

（3）电能计量

电能计量是对电能量的累积，利用所提出的数字电能计量算法对波形成分进行提取，得出电网波形中基波及各次谐波的幅值和相位，利用式（2）得到有功功率，并利用式（1）对有功功率进行累积，即可以实现电能量的计量。

1.3 数字化电能计量新算法误差分析

（1）频率提取误差

频率提取误差是由于三次Lagrange插值算法的插值多项式的截断误差造成，可以根据插值余项确定，其截断的插值余项如下［10］：

（2）波形成分提取误差

若取1.2中的频率提取误差为δf，即电网实际频率为（f+δf），而计算得到的频率为 f，则由式（10）计算出的参与DFT运算的点数误差为δN，即无误差时实际上需要有（N+δN）个数据点参与DFT算法，造成的频率分辩率误差为δ（Δf），则可以利用实际的频率分辩率（Δf+δ（Δf））根据连续时间傅里叶变换得到实际上基波及各次谐波的幅值和相位，对比在频率分辩率Δf条件下提取的基波及各次谐波幅值和相位，即可以得到波形成分提取误差。以电压误差为例进行说明。离散DFT算法得到：

式中u（n）为原波形的采样点，N为参与DFT运算的点数，U（k）为第k次波形的有效值。

连续时间傅里叶变换得到：

式中 u（t）为原波形表达式，（N+δN）为无误差时实际上需要参与DFT运算的点数，Ts为波形的采样周期，U′（k）为无误差时第k次波形的有效值。

因此，利用上述两式即可以得到波形成分分析误差。

（3）电能计量误差

得到的各次波形成分，与实际上连续时间傅里叶变换得到的各次波形成分利用式（1）、式（2）即能得到电能计量误差。

2 实验仿真分析

为验证所提出的算法准确性和可靠性，通过软件仿真方法，设计了信号源，并利用点积和算法、加Hanning窗FFT插值算法、及本文的新算法进行电能量计算，发现在信号源输出基波或包含谐波的基波条件下，三种算法误差均接近零，因此，将不再过多的分析。在频率出现偏差时，利用三种算法进行实验仿真分析，得到误差如图3所示。

图3 频率波动下三种电能计量算法误差Fig.3 Three algorithm electricitymetering error under frequency fluctuation

图中信号源频率波动为50 Hz的正负0.2 Hz［14］范围内进行变化，电压为220 kV，电流为1 000 A。

从图中可以看到所提出的算法，电能计量准确度，明显的高于点积和算法，且与加Hanning窗FFT插值算法误差相近，但是考虑到在数字电能计量系统中，由于采样频率不为2的整数次幂，加Hanning窗的FFT插值算法需要再补零或减少点数达到2的整次幂进行运算，不便于实现，而本文提出的算法计算简单，硬件容易实现，具有实用价值和意义。