万有引力定律的应用
2017-12-19张二九
【摘要】《万有引力定律的应用》是必修2第三章的内容，这部分知识主要介绍了：万有引力定律、星体运动和彗星轨道方面的知识，探究了天体的质量的有关计算，并讲述了卫星的发射和运行原理，推导了第一宇宙速度，介绍了第二、第三宇宙速度。这部分知识有效运用了圆周运动有关知识。教学内容渗透了科学探究的思想和方法，同时也进一步体现了物理学中理想模型的研究方法，这有利于培养学生的科学思维能力，在面对问题时自主寻找利用已知知识去解决实际问题的办法。由于这部分知识涉及公式过多，并且无法跟其他物理现象一样在上课实验，许多学生将客观现象混淆，知识脉络不清，规律理解不准确，运用规律解决具体问题时胡乱套用公式。为使学生对这部分知识有一个清晰的认识并且能有效利用到学习和生活中，现在这里对该部分知识进行初步的探讨。
【关键词】万有引力；重力；向心力；卫星；变轨
【中图分类号】G633.7 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）12-0036-02
本文就目前的教科版高中新课标物理中万有引力定律的应用一章节展开尽可能全面的讨论和分析，让同学们能更清楚的知道这部分内容的主次关系，教学时从何出发、重点在哪些地方，如何做到“教学无死角，解题无障碍”，旨在让学生在学习时容易理解并活学活用而不只是单纯的应付考试。
在进行本次论文之前，我在学习和研究过程中，发现学生存在以下问题：
1.不能正确区分万有引力和重力，什么情况下重力只是万有引力的一个分力，什么情况下重力可以近似等于万有引力。
2.不能从力和运动的角度分析地面物体随地球自转作圆周运动和卫星作圆周运动的区别。
3.如何运用已知条件来计算中心天体的质量等参数。
4.不能正确理解人造卫星的最小发射速度和最大运行速度。
5.卫星发射和回收过程中涉及到能量变化速度差异的变轨问题是学生感觉很难的知识。
针对以上学生存在的问题，现将这部分知识进行如下整理。
一、地球表面上的物体受到的重力和万有引力的关系
万有引力定律：自然界中任何两个物体都是互相吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。即，其中G=6.67×10-11N·m2/kg2。重力：由于地球的吸引而是物体收到的力，重力的方向总是竖直向下.对地球上静止的物体而言，受到万有引力和支持力的作用，这两个力的合力提供了物体随地球自转作圆周运动的向心力。也可以理解为：万有引力可分解为重力和向心力，其中重力和支持力是一对平衡力。
1.地球赤道上物体
设地球半径为R，地球质量为M，地球自转周期为T，万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g，地球赤道上一静止物体质量为m，受力如图所示，其中物体所受支持力为N，由牛顿第二定律可得：物体随地球自转作圆周运动的向心力其中N=mg，代入数据M=5.9722×1024kg，地球半径R=6.4×106m，T=24h=86400s，G=6.64×10-11N·m2/kg2，a向=0.034m/s2，g=9.68m/s2
由此可以看出g>>a向，通常情况下，若不需考虑地球自转的时候，可以认为重力等于万有引力。
2.位于地球上某一纬度的物体
现在我们来研究位于地球上纬度为φ的静止物体，物体由于地球自转而作圆周运动的半径r=Rcosφ。物体受力如图，万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力（即重力）与支持力构成平衡力。
由此可以看出随着纬度φ增加，F向会越来越小，而重力会越来越大。即重力会随着纬度的升高而逐渐接近万有引力。
3.位于地球上南北兩极的物体
由以上分析可知，位于地球上南北两极的物体所受的重力等于万有引力。
综上所述，由于地球是椭圆，随着纬度的升高，万有引力逐渐增大，地球表面物体随地球自转作圆周运动的向心力不断减小，物体的重力逐渐增大。即重力加速度随纬度的升高而增大。在不需要考虑地球的自转的情况下，在地球表面附近可以认为重力等于万有引力。
二、求中心天体质量的方法
1.已知星球表面的重力加速度，求该星球的质量
卡文迪许为什么说自己的实验是“称量地球的重量（质量）”？
例1.设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R=6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11N·m2/Kg2，试估算地球的质量。
例2.宇航员站在一个星球表面上的某高处h自由释放一小球，经过时间t落地，该星球的半径为R，你能求解出该星球的质量吗？
提示：这两道题实质都是利用GMm/R2=mg求解星球质量的。
2.利用万有引力等于向心力求解中心天体的质量，（即利用GMm/R2=mv2/R）
例3.把地球绕太阳的公转看作是匀速圆周运动，轨道半径约为1.5×1011m，已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量约为2×1030kg。
三、地球的卫星
1.近地卫星
我们如果将卫星绕地球的运动处理为匀速圆周运动，万有引力提供了卫星作圆周运动的向心力，即有GMm/R2=mv2/R=mg，其中m为卫星质量，故有v=≈7.9km/s。
2.高空卫星
对于高空卫星而言，有GMm/r2=ma向=mv2/r=4π2mr/T2，所以可以看出随着卫星运动轨道半径逐渐增加，向心加速度逐渐减小，卫星运行的速率逐渐减小，运行周期逐渐增大。由于r≥R，故7.9km/s是最大的运行速率。注意：由于r≥R，所以GMm/r2≤mg，所以运算还可以将表达式转化为mgR2/r2=mv2/r=4π2mr/T2。endprint
3.同步卫星
对同步卫星而言，卫星的周期为T=24h=86400s，根据GMm/r2=4π2mr/T2可知，同步卫星具有一定的运动平面、运动高度、运动速率。
4.地球卫星的发射速度和运行速度
当卫星的发射速率达到7.9km/s时，从理论上讲，它可以刚好成为地球的一颗近地卫星，即发射出去后不需要升空就绕地运行，此时，卫星的发射速率等于运行速率。对某一卫星而言，当发射速率大于7.9km/s时，卫星进入高空运行，卫星升空过程中，由于地球引力作用，卫星所受万有引力对卫星做负功，卫星动能减小，引力势能增加，在无动力升空过程中机械能守恒。所以随着发射速率的增加，卫星运动轨道半径增加，根据GMm/r2=mv2/r可知卫星在高轨道上运行速率反而越小。这里要注意：对不同轨道上的卫星，如图所示的A、B两颗卫星，RA 四、卫星的变轨 1.渐变 卫星在运行的过程中，可能由于外界某些因素的影响，导致卫星运动轨道的缓慢变化，由于轨道半径是缓慢变化，我们可以将卫星每一周的运动处理成匀速圆周运动。 解决此类问题的关键是：抓住力与运动的关系，也就是提供向心力F提（地球与卫星之间的万有引力）与需求向心力F需（卫星作圆周运动需要的向心力）的关系。当F提>F需时，卫星作近心运动，当F提 例如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，在运动过程中总会受到一定的阻力作用。由于阻力对卫星做负功，卫星动能减小，运行速率减小，F需减小。而F提却不变，此时F提>F需时，卫星作近心运动。这样导致半径r减小，由GMm/r2=mv2/r可知：卫星线速率v将增大，周期T将减小，动能Ek将增大，势能Ep将减小。该过程有部分机械能转化为内能，因此卫星机械能E机将减小。 为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。而且万有引力做的正功大于克服阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星动能增加。 为使卫星仍按原轨道运动，需给卫星补充一定的能量，这一能量等于卫星克服阻力所做的功。 2.突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的目标。 如：发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，第一次在P点点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。 第一次加速：卫星需要的向心力增大了，但万有引力没变，即F提 在转移轨道上，卫星从近地点P向远地点Q运动过程只受重力作用，机械能守恒。重力做负功，重力势能增加，动能减小。在远地点Q时如果不进行再次点火，卫星将继续沿椭圆轨道运行，从远地点Q回到近地点P，不会自动进入同步轨道。这种情况下卫星在Q點受到的万有引力大于以速率v3沿同步轨道运动所需要的向心力，因此卫星做近心运动。 为使卫星进入同步轨道，在卫星运动到Q点时必须再次启动卫星上的小火箭，短时间内使卫星的速率由v3增加到v4，使它所需要的向心力增大到和该位置的万有引力相等，这样就能使卫星进入同步轨道Ⅲ而做匀速圆周运动。该过程再次启动火箭加速，又有化学能转化为机械能，卫星的机械能再次增大。 结论：要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圆轨道，即增大轨道半径（增大轨道高度h），一定要给卫星增加能量。与在低轨道Ⅰ时比较，卫星在同步轨道Ⅲ上的动能Ek减小了，势能Ep增大了，机械能E机也增大了。 参考文献 [1]人教版新课标高中物理必修二. 作者简介：姓名：张二九；出生年月：1995年12月；性别：男；籍贯：四川；学历：大学本科；研究方向：中学物理教育。
