双指数混沌系统的动力学分析及数字实现

吴 珺，王光义

(杭州电子科技大学电子信息学院，浙江 杭州 310018)

双指数混沌系统的动力学分析及数字实现

吴 珺，王光义

(杭州电子科技大学电子信息学院，浙江 杭州 310018)

为产生复杂的混沌伪随机信号，在经典的Lorenz系统基础上，设计了含有双指数的混沌系统，其指数项的底数d可在一定范围内任意变化.对此混沌系统的一些基本动力学特性进行了理论分析和数值仿真，如平衡点、平衡点的稳定性、Lyapunov指数谱和分岔图等.利用DSP实现了该混沌系统，并对该系统的伪随机序列进行了NIST测试，结果表明与其它指数混沌系统相比，该系统产生的伪随机序列的随机性良好，在混沌加密应用中有着良好的前景.

混沌；动力学特性；NIST测试

0 引 言

混沌现象的发现被称为第三次物理革命，它改变了确定性和随机性有分界线的说法[1].混沌系统主要特点为内在随机性、初值敏感性及非规则有序性.其中前两种特性由其非线性项引起，并且非线性项的选取影响着混沌系统动力学特性的复杂程度.混沌系统可以产生数字序列，其数字序列具有长周期、伪随机的特性，可广泛应用于保密通信和信息加密之中[2].其中混沌动力学特性越复杂，其混沌序列的随机性就越好，密文的安全性就越高.因此，优良的混沌系统力求其数学结构简单，动力学特性复杂[3].

Lorenz混沌系统[4]是第一个被发现的混沌模型，在混沌学的形成和发展中具有重要的参考价值.基于Lorenz系统的连续混沌系统设计主要分为两个方向，一种是将乘积项(xy,x2,y2)作为非线性项[5]，另一种是将固定底数的指数项(典型的为ex，exy，exx等)作为非线性项[6].非线性项决定了混沌系统的复杂性[7]，底数固定的指数非线性项(典型的为ex，exy，exx等)，其复杂性比乘积非线性项(xy,x2,y2)的混沌系统复杂性更强.但底数固定的指数如自然指数其规律性强，使得其复杂性受到一定的限制.为此，本文提出了一个新的混沌系统，具有2个底数可变的指数(dz，dx2)，一方面提高了非线性函数的复杂性；另一方面增加了一个可变的系统参数，扩展了参数空间和混沌序列的密钥空间，使其序列的安全性得以提高；更重要的是本文提出的系统提高了混沌序列的随机性能，其序列性能优于自然指数混沌系统.

1 双指数混沌系统的构建

本混沌系统的数学模型为：

(1)

图1 混沌吸引子相图与时序图

2 系统的理论证明和动力学特性分析

2.1 耗散性及吸引子的存在性

首先，从混沌系统的耗散性对系统(1)进行动力学特性分析.系统的散度为

V=++=1-b=-2<0

(2)

这说明系统按指数形式dV/dt=e(1-b)收敛，即在t→∞的过程中，所有包含系统的轨线的体积元以指数速率e(1-b)收敛到零，混沌系统会演化到一个局域上，说明了吸引子的存在.

2.2 平衡点及其稳定性分析

为了求系统的平衡点，令

(3)

当a=10，b=3.5，c=1.6，d=2.4时，式(3)求解系统的平衡点s=(-0.150,-0.150,0.466).

系统在平衡点的Jacobian矩阵为：

(4)

令特征方程|J-λE|=0，E为单位矩阵.在平衡点s处的特征值为λ1=0.450 3+3.150 2i，λ2=0.450 3-3.150 2i，λ3=-3.400 5，由此可见λ1和λ2是实部为正数的共轭复根，λ3为负实根；根据Routh-Hurwitz条件，平衡点s为不稳定鞍焦点.

2.3 Lyapunov指数谱与分岔图

当系统的初始条件为(0.01,0.01,0.01)时，固定参数a=10，b=3.5，c=1.6，改变参数d，当d在[2.0,3.8]范围内变化时，系统(1)的Lyapunov指数谱如图2所示，状态变量x随参数d变化的分岔图如图3所示.

图2 Lyapunov指数谱

图3 分岔图

由图3可以看出d参数的变化范围，当d∈[2.0,3.1]时，系统处于混沌状态，可以明显观察到3个周期窗口，此分岔图为逆倍周期分岔，系统从混沌状态向周期状态演变，当d∈[3.1,3.8]时，系统由周期四演变为周期二，再由周期二演变为周期一.

固定参数a=10，c=1.6，d=2.4，当系统的初始条件为(0.01,0.01,0.01)时，改变参数b，当b在[1.5,6.4]的范围内变化时，系统的Lyapunov指数谱如图4所示，状态变量x随参数b变化的分岔图如图5所示.

图4 Lyapunov指数图

图5 分岔图

由图4和图5可见，系统的Lyapunov指数谱与分岔图所表现运行轨线的稳定与不稳定区域是一致，系统由周期轨道通过分岔通向倍周期轨道，再由倍周期轨道分岔通向混沌轨道，最后系统经过逆倍周期分岔逐步过渡到为周期轨道.

3 混沌系统的数字化

混沌系统产生的伪随机序列进行数字化处理，结合DSP仿真实验，用到的实验仪器是TSM320VC5509A数字信号处理器和ICETEK-VC5509A实验箱.首先采用欧拉法对此混沌系统产生的连续信号进行离散化处理，将式(1)转化为：

(5)

固定参数a=10，b=1.6，c=3.5，d=2.4，当系统的初始条件为(0.01,0.01,0.01)时，取量化精度t=0.001，根据式(5)进行迭代求解得到混沌离散序列.DSP实验程序编写在CCS环境下进行，并通过JTAG下载到DSP芯片中，利用模拟示波器进行观察，系统的时序图如图6(a)所示，混沌吸引子相图如图6(b)-(d)所示，与图1中的Matlab仿真图进行比较，在相同参数和初值条件下，DSP的仿真结果与Matlab数值仿真完全吻合，验证指数混沌信号可进行数字化处理，并且产生的伪随机序列具有实际应用的可能.DSP实验中所使用的仪器及实验现象如图7所示.

图6 DSP仿真平台仿真图

图7 DSP实验器材图

4 指数混沌序列性能分析

为研究本文构建的指数混沌系统在保密通信中性能是否良好，采用美国国家技术标准局NIST推出的测试软件包STS，对混沌系统进行了一系列参数的测试，以便了解其离散化后的伪随机序列的详细随机特性.

利用Matlab编程生成伪随机序列，采用ode45函数对混沌方程进行积分运算，初始值为x=0.01，y=0.01，z=0.01，选取x变量作为伪随机数生成变量，每次对x变量运算结果进行量化，选取小数点后分别为第4位、第5位、第6位、第7位、第8位的数字进行比较运算，大于等于5则向伪随机序列文件写入“1”，小于5则写入“0”，得到伪随机序列文件chaos.txt，然后对chaos.txt进行NIST测试.生成伪随机序列总长度n=1 000 000 000，对其进行分组处理，分组M=1 000，每组序列长度N=1 000 000.NIST测试结果分为序列的均匀性与通过率，其P-value值表示序列的均匀性，在分组M=1 000的情况下，P-value的值大于0.001则认为测试序列的分布是均匀的，通过率Proportion的值须大于0.980 5.

选取自然指数混沌系统如下：

(6)

在同样的条件下，进行测试的结果如表1所示，式(1)指数混沌序列具有良好的随机性，15项测试均匀性和通过率全部通过，而式(6)所示的混沌系统产生的伪随机序列Serial选项的均匀性和均匀性没有通过，表明此指数的混沌系统产生的序列优于自然指数混沌系统产生的序列，并且此混沌系统产生的伪随机序列的随机性能更好，应用于信息加密和保密通信领域破译的难度更大.

表1 指数混沌系统伪随机序列与自然指数系统的伪随机序列NIST测试结果

5 结束语

本文设计了一个新的混沌系统，具有2个非线性项，且其指数项的底数可在一定范围内任意变化.通过数值仿真、平衡点求解与稳定性判断，对其分岔特性以及计算Lyapunov指数谱等动力学特性进行分析，同时对此混沌系统进行了DSP实验验证，DSP实验结果与数值仿真结果具有一致性.最后对此混沌系统产生的伪随机序列进行NIST测试，分析结果显示，此混沌系统伪随机性优于自然指数的混沌系统，可作为伪随机序列发生器的信号源，可应用于保密通信和信息加密中.

[1] 臧鸿雁,柴宏玉.一个二次多项式混沌系统的均匀化及其熵分析[J].物理学报,2016,65(3):64-70.

[2] Stankevich N V, Kuznetsov A P, Popova E S, et al. Experimental diagnostics of multi-frequency quasiperiodic oscillations[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation,2016,43:200-210.

[3] Lin X, Zhou S, Li H. Chaos and Synchronization in Complex Fractional-Order Chua’s System[J]. Chaos Solitons & Fractals,2016,39(4):1595-1603.

[4] Lorenz N. Deterministic Nonperiodic Flow. J. Atmos. Sci[J]. Journal of the Atmospheric Sciences,1962,20:130-141.

[5] Leonov G A, Kuznetsov N V, Korzhemanova N A, et al. Lyapunov dimension formula for the global attractor of the Lorenz system[J]. Mathematics,2015,41:84-103.

[6] 袁方,王光义,靳培培.一种忆感器模型及其振荡器的动力学特性研究[J].物理学报,2015,64(21):210504.

DynamicalAnalysisandDigitalRealizationofaChaoticSystemwithDual-exponential

WU Jun, WANG Guangyi

(SchoolofElectronicInformation,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

For generating complex chaotic pseudo random signals, based on Lorenz system, this paper designs a novel chaotic system with two exponential terms, in which the base of exponential termdcan be varied at a certain range. Some basic dynamical characteristics, such as equilibrium points, Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagrams of this system, are analyzed theoretically and simulated numerically. The proposed system is realized by DSP technology and tested by NIST criterion. Results show that proposed system possesses better randomness and complexity for its chaotic sequences compared with other exponent-based chaotic systems, and has good potential applications in chaotic encryptions.

chaos; dynamic; NIST test

10.13954/j.cnki.hdu.2017.06.003

2016-11-11

国家自然科学基金资助项目(60971046,61281230357)；浙江省自然科学基金重点资助项目(LZ12F01001)

吴珺(1987-)，女，山东枣庄人，硕士研究生，非线性电路与智能信息处理.通信作者：王光义教授，E-mail:wanggyi@163.com.

TN401

A

1001-9146(2017)06-0009-05