随机利率模型下养老基金的最优化管理

◎吴迪洲

随机利率模型下养老基金的最优化管理

◎吴迪洲

针对我国日益加深的老龄化趋势和养老金缺口，本文主要研究了养老金的收益保障运筹最优化问题（带下限保障）。本文引入Cox-Ingersoll-Ross利率模型，从而对金融世界作实际的假设。通过分解养老金将有下限约束的退休收益优化问题转化为无约束的自融资基金优化问题，最后在CIR利率模型下讨论最优策略微分方程及其数值解。

背景介绍

作为社会保障体系的重要环节，员工养老金计划的推出和风险管理是国内政府有关部门日益重视的现实问题。随着人口结构的不断变化，老龄化格局愈演愈烈，推动基金类也就是DCP养老金方案成为了发展的主流。本文主要讨论DCP确定缴费养老金方案，而考虑到养老金计划应该能够支付给受益人最基本的生活保障，所以引入一个最低收益的前提。同时考虑养老金投资年限较长，一般在二十年以上，利率不会恒定不变，因此引入随机利率模型是必要的。本文主要考虑在Vasicek利率模型下的情况。

模型建立

金融市场假设

在本文中，金融市场被假定为无套利，无摩擦且连续开放的。且对养老金的投资行为不影响各类证券的价格。现取一个完备的概率空间(Ω, F, P)，并在其上定义一个二维布朗运动（Wr(t),W(t)）,t≥0，令F(t)t≥0是该布朗运动产生的自然σ域流来描述到t时刻所有市场信息。假设市场中一共有三类投资工具：现金，股票，长期债券。

假设1 仿射利率的确定： Heath Jarrow and Morton 模型里远期利率f(t,u)满足，无风险瞬时利率r(t)= f(t,t)，于是可以推导现金资产的价格，此时得到Vasicek模型，代表现金资产的顺势无风险利率。令得到CIR模型。

假设22 假设到期日为T的无息票债券在t时刻的价格为B(t,T),满足

其他假设

缴费率c(t)

假设1 缴费率c(t)

我们用缴费率（contribution rate）表示在连续时间模型中投资者在时刻t1向基金投入c(t)

假设2 下限保障G(T)

假设养老金以永久年金的形式发放，让f(t)代表最小年金，T为截至时刻，那么

假设3 财富过程X(t)

表示为t时刻在现金S0(t) 股票 S(t)和债券B（t,K）上的资产。

最优化原则

采用效用函数期望优化

最优化问题的解

因为X（t）不是自融资过程并带有约束条件，因此可以借助倒向随机微分方程保证解唯一。

自融资过程的使用

把账面价值D（t）与Y（t）拆分，可以得到Y(t)= X(t) – D (t)

通过对D（t）求导不难得到如下微分方程：

其中

既然Y（t）显然可知是自融资过程，那么问题简化为

G（t）用资产组合复制

让 Z(t)=Y(t)-G(t)=X(t)-D(t)-G(t) 代入上面的微分方程

其中

即可得到

求解偏微分方程

那么有

其中Et为条件期望算子。

再令 Φ (w *; Z,P,f,t)=L(J)

其中，L为关于变量（Z,Pf)的Dynkin算子。

满足

最终我们得到最优投资策略

结论与展望

本文得到了一个缴费确定计划养老金的计算方法，可以用于基金经理的实际操作中。值得注意的是，我们假定了市场中投资工具分为三类，只考虑股票市场指数作为资产代表，在现实情形中我们可以对多资产的情况进行频繁推广。另外，通过HJM模型推导出的Vasicek模型是对随即利率的一种刻画的框架，而我们可以未来通过他构造更现实的利率模型。

英国利物浦大学）