“变化多端”的矢量三角形

范旺

在高中物理的静力学中，关于力的矢量运算是很重要的内容。求解力的问题关键是要建立起几个力之间的数学关系（数学方程或几何关系），把力的关系转化成数学关系，进而求解。其中三个力形成的矢量三角形是最为常见的一种关系。这个力三角形经常利用力的合成或力的效果分解来得到，然后通过解三角形求解。当这个力三角形中某一个或两个因素发生改变时，就形成了一个动态的、变化的三角形。下面就这一问题加以讨论：

一、合力与其两分力构成三角形

两个力的合力的大小介于两个分力之和与两个人力之差（绝对值）之间，若两个力的夹角不等于0和180度时，合力与其两个分力构成一个三角形。

（1）若合力F一定，把它分解为两个大小相等的分力（未知），两个力的夹角发生变化时，两个分力的大小随着改变。

如图，三角形的变化表现为顶点在其底边的中垂线上滑动，不难看出两个分力随夹角的增大而减小，随夹角的减小而增大。

这與我们体育锻炼中“引体向上”是一个道理，两臂夹角越大，越费力。中学物理不少力学问题就是以这个知识点来命题。

例1：用一根轻质细绳将一副质量为m的画框悬挂在墙壁的钉子上上，细绳的最大张力为mg，如果已知两挂钉之间的距离为d，则细绳的最短长度是多少？

例2：如图所示，绳的一端固定在墙上A点，另一端通过定滑轮吊一重物，杆BC可绕B点自由转动。杆、滑轮、绳子的质量及摩擦均不计。将绳的A端沿墙稍向下移动，则下列判断中正确的是

A.绳子拉力、BC杆受到的压力都增大

B.绳子拉力减小，BC杆受到的压力增大

C.绳子拉力不变，BC杆受到的压力增大

D.绳拉力、BC杆受到的压力都不变

（2）合力F一定，且一个分力F1方向一定，另一个分力F2的方向发生变化。

可看三角形的变化是表示F1的线段的一个端点在表示F2方向的射线上滑动，当垂直时，F1取得最小值。

（3）若合力F一定，两分力夹角一定且小于90度时，则其中一个分力存在最大值。

该力三角形的变化表现为，直角三角形的一个外接圆，一点在圆周上移动，可看出一个分力的最大值为圆的直径。

二、三个共点力平衡构成三角形

例1.如图，光滑的挡板和光滑斜面之间夹着一个小球，当缓慢增大角，则小球对斜面和挡板的压力如何变化？

该题不难看出，所得到的三角形两力的方向一定，同时其中一力大小确定，另一个力的一个端点在滑动。

例2.光滑半球面固定在水平面上，球心正上方悬挂一轻质小定滑轮。细绳通过定滑轮连接小球，小球靠在半球面上，缓慢拉动细绳，在小球沿球面上升的过程中，球面对小球的支持力和细绳对小球拉力各如何变化？

例3.如图所示的装置中，两根细线共同系住一个小球，两细绳间有一夹角，细绳AC呈水平状态，将整个装置在纸面内顺时针缓慢转过90度，在转动过程中保持两绳夹角不变。则两绳拉力如何变化？

综上可以看出，由三个力组成的三角形，当其中某些力发生变化时，三角形会随着改变，因变化的条件不同相应有不同的解决方式。诸如上述，有作图法，三角形相似，正弦定理，对具体问题要具体分析。