格序环上矩阵环理想的一些性质

宁云转， 吴雅丽， 杨义川

(北京航空航天大学 数学与系统科学学院, 北京 100191)

格序环上矩阵环理想的一些性质

宁云转， 吴雅丽， 杨义川*

(北京航空航天大学 数学与系统科学学院, 北京 100191)

讨论格序环(即l-环)上的l-矩阵环的l-理想，建立l-环理想与l-矩阵环理想之间的关系.

l-环;l-环理想;l-矩阵环理想

1 引言及预备知识

格序环(简写为l-环，具体见定义1.1)是由G.Birkhoff等[1]1956年提出来的一类重要的序代数结构.设R是一个环，n是正整数.易验证，R上的所有n×n阶方阵集

Mn(R)={(mij)n×n|mij∈R}

对于矩阵的普通加法和乘法构成一个环.设R是一个l-环，任意的矩阵环A，B∈Mn(R)，如果对所有的i、j都有aij≥bij(这样的序叫做通常序)，则矩阵环Mn(R)在通常序下是R上的一个全矩阵l-环[2].

本文将在通常序下，对格序理想与格序矩阵环理想之间的关系进行探讨.下面先回顾一些必要的概念.

定义1.1[1]一个偏序环或者po-环是一个带有偏序关系≤的环R，对任意的a，b，c∈R满足条件:

(A1)a≤b蕴涵a+c≤b+c,

(A2) 0≤a且0≤b蕴涵0≤ab.

格序环是一个po-环R，并且环R在关系≤下作成格.

定义1.2[3]l-环R的子集I称为l-理想，如果I是环R的理想且是一个凸子格.

引理1.1[3]设R是一个l-环，P是R的l-理想，则以下条件等价:

(a)R中的任意2个l-理想I、J，有I∩J=P蕴涵I=P或者J=P；

(b)R中的任意2个l-理想I、J，有I∩J⊆P蕴涵I⊆P或者J⊆P；

(c) 任意的a，b∈R，有〈a〉∩〈b〉⊆P蕴涵a∈P或者b∈P.

定义1.3[3]l-环R的l-理想P称为不可约格序理想，如果P是一个真l-理想并且满足引理1.1中的其中一个等价条件.

定义1.4[4]l-环R的l-理想P称为素格序理想，如果P是一个真l-理想并且对R中任意的l-理想I、J有IJ⊆P蕴涵I⊆P或者J⊆P.

注1.1如果P是格序环R的格序理想且是R作为环的素理想，则P一定是l-环R的素格序理想.事实上，若I、J为格序环R的2个任意的l-理想，并且满足条件IP且JP，则一定存在a∈I、b∈J使得a∉P、b∉P，则ab∈IJ，因为P是环的素理想，因此有ab∉P，从而IJP.即P是格序环R的素格序理想.但反之不成立，例如:任何一个元素的平方都为正的阿基米德交换格序环的素格序理想就不是一个环素理想[4].

注1.2如果P是l-环R的素格序理想，则P一定是l-环R的不可约l-理想.设I、J为R的任意2个l-理想，且I∩J⊆P，因为IJ⊆IR⊆I且IJ⊆RJ⊆J，则有IJ⊆I∩J，因此有IJ⊆P,又因为P是l-环的素格序理想，则有I⊆P或者J⊆P，由定义1.3知P为l-环的不可约理想.

定义1.5[2]l-环R的l-理想P称为l-根理想，如果P是R的所有极大真l-理想的交.

注1.3在没有特殊注明的情况下，本文中涉及到的格序环皆是一般格序环(不一定是交换的或有单位元的).

2 主要结果

引理2.1设R是一个l-环，I是R的l-理想，则Mn(I)是Mn(R)的l-理想.

证明先证Mn(I)是Mn(R)的环理想.任取

A=(aij)，B=(bij)∈Mn(I)，

则有

A-B=(aij-bij)∈Mn(I).

任意的K=(kij)∈Mn(R)，则有

其中

因此，C，C′∈Mn(I),即Mn(I)是Mn(R)的环理想.

再证Mn(I)是凸子格.任取A，B∈Mn(I)，则有

A∧B=(aij∧bij)，A∨B=(aij∨bij)，

任意的C∈[A∧B，A∨B]，C=(cij)，即

aij∧bij≤cij≤aij∨bij，

因为I是l-环理想，则I是凸子格，即有

[aij∧bij，aij∨bij]⊆I，

因此cij∈I，即C∈Mn(I)，则Mn(I)是凸子格.

综上所述，引理得证.

引理2.2设R是一个l-环，M是Mn(R)的l-理想，令

I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}，

则I是R的l-理想.

证明先证I是R的环理想，任意的a，b∈I，则存在A=(aij)∈M有

a11=a，B=(bij)∈M，

有b11=b，则

a-b=a11-b11∈I.

任意的r∈R，则有

C=(cij)=rA=(raij)∈M，

且c11=ra11=ra，因此ra∈I，即I是R的环理想.

再证I是凸子格.任意的a，b∈I，则存在

A=(aij)，B=(bij)∈M，

使得a11=a，b11=b，因为M是l-理想，则[A∧B，A∨B]∈M，其中

A∧B=(aij∧bij)，A∨B=(aij∨bij)，

由I的定义知a∧b∈I，a∨b∈I，任意的c∈[a∧b，a∨b]，设C=(cij)，其中c11=c，cij=aij，i≠1，j≠1，则C∈[A∧B，A∨B]⊆M，由I的定义知c=c11∈I，因此I是凸子格.

综上所述，引理得证.

引理2.3设R是一个有单位元的l-环，M是Mn(R)的l-理想，则存在R的l-理想I，使得M=Mn(I).

证明首先，由引理2.2知，I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}是R的l-理想.

下证M=Mn(I).设Eij表示矩阵元素eij=1，其余元素全为0的n阶方阵.任意的A=(aij)∈M，则E1iAEj1∈M，且有E1iAEj1中第一行、第一列元素为aij，由I的定义知aij∈I，即有

A=(aij)∈Mn(I)，

因此M⊆Mn(I).反过来，任意取

B=(bij)∈Mn(I)，

则有bij∈I，从而存在C=(cij)∈M，使得c11=bij，于是bijEij=Ei1CE1j∈M，从而

B=(bij)=∑bijEij∈M，

因此，Mn(I)⊆M，即M=Mn(I).

综上所述，引理得证.

由引理2.1和引理2.3可得：

定理2.1设R是一个有单位元的l-环，则Mn(I)为格序矩阵环Mn(R)的格序矩阵环理想当且仅当I是R的l-理想.

引理2.4设Iij(1≤i≤j≤n)是l-环R的l-理想，且对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij，则

A-B=(aij-bij)∈M.

因为sgt;j，有ksj=0，从而igt;j时有

当1≤i≤j≤n时，结合aij∈Iij及对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij，则有

再证M是凸子格.任意的A=(aij)，B=(bij)∈M，则

A∧B=(aij∧bij)，A∨B=(aij∨bij)，

因为Iij(1≤i≤j≤n)是R的l-理想，则Iij为凸子格，即[aij∧bij，aij∨bij]⊆Iij，因此

A∧B，A∨B∈M.

任意的C=(cij)∈[A∧B，A∨B]，则

cij∈[aij∧bij，aij∨bij]，

因为Iij为凸子格，则cij∈Iij，从而C∈M，即

[A∧B，A∨B]⊆M.

因此，M是凸子格.

综上所述，引理得证.

证明令Iij={a∈R|存在A=(aij)∈M使得a=aij}(1≤i≤j≤n).由引理2.2知，Iij是R的l-环理想.对任意的i≤m≤l≤j，设c∈Iml，则存在A=(aij)∈M使得aml=c.于是

EimAElj=amlEij=cEij∈M，

故c∈Iij.从而Iml⊆Iij.

用M′表示等式的右边.任取A=(aij)∈M，则aij∈Iij(1≤i≤j≤n).则A∈M′，M⊆M′.反过来，若A=(aij)∈M′，则aij∈Iij(1≤i≤j≤n)，因此，存在相应的矩阵B=(bij)∈M，使得bij=aij，于是

aijEij=bijEij=EiiBEjj∈M，

综上所述，结论得证.

由引理2.4和引理2.5可得：

定理2.2设R是一个有单位元的l-环，则

是格序矩阵环Mn(R)的上三角l-矩阵理想当且仅当Iij是R的l-理想，且满足对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij.

引理2.6设R是一个l-环，Ii(i=1，2，…，n)是R的l-理想，则

{diag(a1，a2，…,an)|ai∈Ii，i=1，2，…，n)}

M={diag(a1，a2，…,an)|ai∈Ii，i=1，2，…，n)}

由引理2.6可得

定理2.3设R是一个l-环，则

{diag(a1，a2，…,an)|ai∈Ii，i=1，2，…，n}

引理2.7设R是一个有单位元的l-环，I是R的素l-理想，则Mn(I)是Mn(R)的素l-理想.

证明由引理2.1知Mn(I)是Mn(R)的l-理想.现在只需证Mn(I)是Mn(R)的素理想.设M1、M2为Mn(R)的任意2个l-理想，且

M1M2⊆Mn(I).

假设M1Mn(I)，M2Mn(I)，由引理2.3知存在I1、I2使得

M1=Mn(I1)，M2=Mn(I2).

对于任意的A=(aij)∈Mn(I1)且A∉Mn(I)，有aij∈I1且存在k、l使得akl∉I，于是有I1I，对于任意的B=(bij)∈Mn(I2)且B∉Mn(I)，有bij∈I2且存在m、n有bmn∉I，同样有I2I.因为I是R素格序理想，则I1I2I.

任意的c∈I1I2必然存在a∈I1、b∈I2使得c=ab，设A′=(aij)，其中a11=a，aij=0(i≠1，j≠1)，B′=(bij)，其中b11=b，bij=0(i≠1，j≠1)，设C=AB，则

c11=c，cij=0,i≠1，j≠1，

因此C∈Mn(I1)Mn(I2).由题设知

Mn(I1)Mn(I2)⊆Mn(I)，

于是C∈Mn(I)，即c=ab∈I，从而可得I1I2⊆I，与I1I2I矛盾，因此假设不成立.

综上所述，结论成立.

引理2.8设R是一个有单位元的l-环，M是Mn(R)的素l-理想，令I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}.则I是R的素l-理想.

证明由引理2.2知I必是l-理想.下面证明其为素l-理想，设I1、I2是R的任意2个格序环理想，且I1I2⊆I.由引理2.3知，对I1、I2存在

M1=Mn(I1)，M2=Mn(I2)，

因为I1I2⊆I，则M1M2⊆M，又因为M为素格序理想，则Mn(I1)⊆M或者Mn(I2)⊆M.不妨设Mn(I1)⊆M成立，任意的a∈I1，则存在

A=(aij)∈Mn(I1)，

使得a11=a，因为Mn(I1)⊆M，则A∈M，由I的定义知a∈I，从而I1⊆I，即I是R的素l-理想.

综上所述，结论得证.

引理2.9设R是一个有单位元的l-环，M是Mn(R)的素l-理想，则存在R的素l-理想I，使M=Mn(I).

证明由引理2.7、引理2.8及引理2.3得证.

由引理2.7和引理2.9可得：

定理2.4设R是一个有单位元的l-环，则Mn(I)为Mn(R)的素l-理想当且仅当I是R的素l-理想.

引理2.10设R是一个有单位元的l-环，I是R的极大l-理想，则Mn(I)是Mn(R)的极大l-理想.

证明假设Mn(I)不是Mn(R)的极大l-理想，则存在Mn(R)的格序理想M，且满足

Mn(I)MMn(R)，

由引理2.3知存在l-理想

J={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a},

使得M=Mn(J).从假设知I⊆J，且存在B=(bij)∈Mn(J)但B=(bij)∉Mn(I)，则存在i、j使得bij∉I，因此，IJ.再由假设显然可得到JR，这与题设中I是R的极大l-理想矛盾.因此，假设不成立，即Mn(I)是Mn(R)的极大l-理想.

综上所述，结论得证.

引理2.11设R是一个有单位元的l-环，M是Mn(R)的极大l-理想，令I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}，则I是R的极大l-理想.

证明假设I不是R的极大l-理想，则存在R的理想J，满足IJR，由引理2.3知M=Mn(I)，并且J对应格序矩阵环理想Mn(J).因为IJ，则存在a∈J且a∉I，取

A=(aij)，a11=a，aij∈I,i≠1，j≠1.

则A∈Mn(J)，A∉Mn(I)，因此

M=Mn(I)Mn(J).

同理Mn(J)Mn(R).这与M是Mn(R)的极大理想矛盾，假设不成立.即I是R的极大格序理想.

综上所述，结论得证.

引理2.12设R是一个有单位元的l-环，M是Mn(R)的极大l-理想，则存在R的极大l-理想I，使得M=Mn(I).

证明由引理2.10、引理2.11以及引理2.3得证.

由引理2.10和引理2.12可得:

定理2.5设R是一个有单位元的l-环，则Mn(I)为Mn(R)的极大l-理想当且仅当I是R的极大l-理想.

结合定义1.5、引理2.11、引理2.12及定理2.5可得：

定理2.6设R是一个有单位元的l-环，I是R的l-根理想，则Mn(I)是Mn(R)的l-根理想.

定理2.7设R是一个有单位元的l-环，M是Mn(R)的l-根理想，令I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}，则I是R的l-根理想.

定理2.8设R是一个有单位元的l-环，则Mn(I)是Mn(R)的l-根理想当且仅当I是R的l-根理想.

3 结束语

文中矩阵环上的格序假定是通常序，其中的一些结果需要用到环的乘法单位元的存在性.下面列出几个问题，有兴趣的读者可以阅读近期相关的一些文章，如文献[5-7]等.

1) 能否构造出相关结果在无单位环的情形下不成立的反例？

2) 能否在矩阵环上构造出相容的线性序？

3) 能否构造出不同构于通常序的相容格序？

[1] BIRKHOFF G, PIERCE R S. Lattice-ordered rings[J]. Anais Da Academia Brasileira De Ciências,1956,28:41-69.

[2] BIRKHOFF G. Lattice Theory[M]. 3rd. New York:American Math Soc,1967.

[3] KLAUS K. The representation of lattice-ordered groups and rings by sections in sheaves[C]//Lectures on the Applications of Sheaves to Ring Theory,1971:1-98.

[4] DIEM J M. A radical for lattice-ordered rings[J]. Pacific J Math,1968,25(1):71-82.

[5] KITAMURA Y, TANAKA Y. Partially ordered rings II[J]. Tsukuba J Math,2016,39(2):181-198.

[6] SCHWARTZ N, YANG Y C. Fields with directed partial orders[J]. J Algebra,2011,336(1):342-348.

[7] YANG Y C. A lattice-ordered skew field is totally ordered if squares are positive[J]. Am Math Monthly,2006,113(3):265-266.

2010MSC:06F25; 06B10; 15A33

(编辑 余 毅)

Some Properties of l-ideals of Lattice-ordered Matrix Rings over an l-ring

NING Yunzhuan, WU Yali, YANG Yichuan

(SchoolofMathematicsandSystemScience,BeihangUniversity,Beijing100191)

In this paper, we discuss thel-ideals ofl-matrix rings over anl-ring and establish the relationship betweenl-ideals of thel-rings andl-ideals of the matrix rings.

l-ring;l-ideal ofl-ring;l-ideal ofl-matrix ring

O153.1

1001-8395(2017)06-0722-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.002

2016-12-03

国家自然科学基金(11271040)

*通信作者简介:杨义川(1970—)，男，教授，主要从事逻辑代数、序代数、软计算及其应用的研究，E-mail：ycyang@buaa.edu.cn