二项式定理题型扫描

湖北 廖庆伟

二项式定理题型扫描

湖北 廖庆伟

二项式定理是高考必考的，常考题型是选择题或填空题，属容易题或中等题，二项式定理常考题型如下.

一、求常数项

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A.360 B.180 C.90 D.45

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A.6 B.9 C.12 D.18

二、求指定项的系数

点评：求二项展开式的指定项的系数问题，一般是利用通项公式进行化简后，令字母的指数符合要求，解出Tr+1中的r，再代回通项公式即可.注意求指定项的系数与求指定项是不同的.

【变式2】(2017·山西大学附中高三二模测试)(x-2y)6的展开式中，x4y2的系数为

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A.15 B.-15 C.60 D.-60

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A.-4 B.-2 C.2 D.4

三、求指定项

【例3】(2016·四川理)设i为虚数单位，则(x+i)6的展开式中含x4的项为

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A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4

【变式1】设i为虚数单位，则(x-i)6的展开式中含x4的项为

( )

A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4

四、求有理项

点评：求二项展开式的有理项问题一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数为整数，解出Tr+1中的r，注意0≤r≤n,r,n∈N，再代回通项公式即可.

A.2 B.3 C.4 D.5

五、求参数的值

点评：二项式定理中的求参数问题，一般是利用通项公式进行化简后，令字母的指数符合要求，解出Tr+1中的r，再代回通项公式即可.

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随着燃料乙醇和食品加工中伴生的液体副产品产量增加、果蔬种植规模化伴生的鲜基饲用资源增加，加上环保要求趋严、饲料成本上升，促进了液体农副产品、鲜基地源饲料和发酵液体饲料的应用和推广，液体饲料具有广阔的发展前景[1]。

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六、求展开式系数和

【例5】已知(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10=

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A.-1 B.1 C.-2 D.0

【解析】因为(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，令x=0，可得a0=1，令x=1,可得a0+a1+a2+…+a10=-1，所以a1+a2+…+a10=-2,故选C.

点评：求解本题应先令x=0，求a0，再令x=1，求a0+a1+a2+…+a10，最后求a1+a2+a3+…+a10.用二项式定理展开时，要注意按字母x的指数从小到大或从大到小排列. 同时应注意二项式系数的规律.

【变式1】若(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是

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【答案】C 【解析】由题意可知a8=(-2)7=-128，令x=0得a0=1，令x=1得a0+a1+a2+…+a7+a8=-2，所以a1+a2+…+a7=125，故选C.

【变式2】已知展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

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A.212B.211C.210D.29

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【变式4】设(2-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则 |a1|+|a2|+…+|a6|的值是

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A.729 B.665 C.728 D.636

【答案】B 【解析】令x=0,则a0=26=64,而(2+x)6=a0+|a1|x+|a2|x2+…+|a6|x6,令x=1可得a0+|a1|+|a2|+…+|a6|=36=729,故|a1|+|a2|+…+|a6|=729-64=665,故选B.

七、求最值

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A.3 B.4 C.5 D.6

【变式1】已知 (x+1)2012=a1+a2x+a3x2+…+a2013x2012，若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤2 013,k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是

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A.1 005 B.1 006 C.1 007 D.1 008

【变式2】二项式(1-x)10的展开式中二项式系数最大的项是第________项.

【答案】6 【解析】展开式共11项，中间项为第6项，二项式系数最大.

【变式3】若(x-2y)n展开式中二项式系数最大的是第5项，则展开式中所有项的系数和是________.

【答案】1 【解析】因为(x-2y)n展开式中系数最大的是第5项，所以n=8，所以(x-2y)8的展开式中所有项的系数和(-1)8=1.

八、整除问题

【例7】求7777-7被19除所得的余数.

点评：用二项式定理处理整除性问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了.

【变式1】设a∈Z，且0≤alt;13，若512012+a能被13整除，则实数a= .

【变式2】已知m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b除以m所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a≡b(modm)，例如：5≡13(mod4).若22015≡r(mod7)，则r可能等于

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A.2 013 B.2 014 C.2 015 D.2 016

【变式3】用二项式定理证明(n+1)n-1可以被n2整除(n∈N*).

【证明】用二项式定理和组合数的性质，得到

当n=1时，(1+1)1-1能被12整除.

所以(n+1)n-1是n2的倍数，即可以被n2整除.

九、交汇题

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A.-80 B.80 C.40 D.-20

点评：二项式定理常与函数、数列、不等式、导数、复数等知识交汇.求解本题的关键是利用线性规划的知识求出满足条件的n，再利用二项式定理的知识求解.

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A.-20 B.20 C.-15 D.15

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A.240 B.-240 C.-60 D.60

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A.第7项 B.第8项

C.第9项 D.第10项

湖北省巴东县第三高级中学)