趣味数学题在化学中的启示三例

湖南 杨姣媛 黄若海

趣味数学题在化学中的启示三例

一、贵在挖掘

很多人都见过这样的趣味题：在下式中填上恰当的符号，使4 4 4=6 。

下面这道化学题也很有趣：

在下式横线上填入适当物质并配平(连同计量数填入括号内)。

分析：给出一个答案，对这道题来说一点也不难。下面我们再来钻研钻研。

一道极平常的题 ，经这么一挖掘，也就变得非同寻常了。

二、整体法解题

有这么一道思维训练题：

50个运动员按高矮顺序排成一排，并按1～50编号。教练下令:“单数运动员出列!”剩下的运动员重新排并编号。教练又下令:“单数运动员出列!”如此下去。最后剩下一个人。请问这个人最初的编号是几号?

解析：

列出1 2 3 …48 49 50五十个数；

第一次划去单数，剩下2 4 6…48 50二十五个数；

第二次划去2 6 …46 50，剩下4 8…44 48十二个数；

第三次划去4 12…44，剩下8 16 24 32 40 48六个数；

第四次划去8 24 40，剩下16 32 48三个数；

第五次划去16 48；剩下32一个数。

所以是32号。

上面的这种解析方法不符合思维训练题的初衷，解答时也难以品尝到解思维训练题带来的乐趣。看一看下面的分析方法：

5次排序后就只有1人了，这个人最初的号码必须在每一次排序中都是偶数，所以他的号码是2的5次方，即32。

这种分析方法从整体上把握这个问题，使得解答过程简捷而灵动。

化学中也有不少的题，运用整体法解答比“一步一个脚印”式的解答，具有更大的优越性。

例题：取0.04 mol KMnO4固体，加热一段时间后,收集到amol气体。向分解后所得残留固体中加入足量浓盐酸，又收集到bmol气体。设此时锰元素全部以Mn2+存在于溶液中。试计算:

(1)a+b的最小值；

(2)当a+b=0.09时,0.04 mol KMnO4加热后所得残留固体的质量。

这道题涉及的反应较多，若按方程式一步一步计算是比较烦琐的。为了说明问题，这里不厌其“烦”：

(1)设分解的KMnO4物质的量为0.04xmol,则剩余KMnO4的物质的量为0.04(1-x) mol。根据化学方程式计算如下：

0.04x0.02x0.02x0.02x

0.04(1-x) 0.1(1-x)

0.02x0.04x

0.02x0.02x

a+b=0.02x+0.1(1-x)+0.04x+0.02x=0.1-0.02x

因为x≤1,当x=1时,a+b有最小值,(a+b)min=0.08

(2)当a+b=0.09时，即0.1-0.02x=0.09，解得x=0.5。

加热后剩余固体的质量=剩余的KMnO4质量+生成的K2MnO4的质量+生成的MnO2的质量=0.04×(1-0.5) mol×158 g/mol+0.02×0.5 mol×197 g/mol+0.02×0.5 mol×87 g/mol=6 g。

有比较才有鉴别。下面是运用整体法解答这道题的过程：

(1)根据电子得失守恒，整个过程中，+7价的Mn获得的电子等于-2价的O和-1价的Cl失去的电子，则有：0.04×(7-2)=4a+2b，整理得a+b=0.1-a，因a的最大值为0.02，所以a+b的最小值为0.08。

(2)当a+b=0.09时，即0.1-a=0.09，此时a=0.01。加热后剩余固体的质量=原KMnO4的质量-放出的O2的质量=0.04 mol×158 g/mol-0.01 mol×32 g/mol=6 g。

两种方法放在一起对比，繁简不言自明。整体法是避开局部细节，从整体的高度来综合分析问题、解决问题的方法。中学化学解题中常用到的质量守恒、电荷守恒、电子得失守恒、物料守恒、质子守恒、平均组成法等都在一定程度上体现了整体法的思想。

三、化学式的“重组”

3 333 333 333的平方是多少？

3 333 333 3332=3 333 333 333×3 333 333 333

=(3 333 333 333×3)×(3 333 333 333÷3)

=9 999 999 999×1 111 111 111

=(10 000 000 000-1)×1 111 111 111

=10 000 000 000×1 111 111 111-1×1 111 111 111

=11 111 111 110 000 000 000-1 111 111 111

=11 111 111 108 888 888 889

上面的运算过程巧妙地运用了“拆”和“组”。

中学化学中，化学式的“重组”也是一种常用的计算方法。请看下面几个例子：

1.Na2O2与CO2、H2O反应固体增重的计算

拓展：凡是分子组成符合(CO)n(H2)m形式的一种或几种物质，wg该物质在O2中完全燃烧后，将其产物(CO2和水蒸气)通过足量的Na2O2充分反应后，固体增重必为wg。常见的符合这一关系的物质有：(1)无机物：H2、CO及H2和CO的混合气体；(2)有机物：CH3OH、HCHO、CH3COOH、HCOOCH3、CH3CH(OH)COOH(乳酸)、C6H12O6(葡萄糖)等。

2.有机物的燃烧计算

有机中，为了燃烧计算的简便，类似这种把化学式改写成氧化物的形式也时有出现，例如：

凡分子式符合通式[(CO)m(H2O)n](m、n均为正整数)的有机物，在燃烧时消耗的O2与生成的CO2的体积比恒为1∶2。一般说来，含C、H、O的有机物皆可写成[(CxOy)m(H2O)n]。当x=y=N(N为自然数)时，[(CxOy)m(H2O)n]即为[(CO)m(H2O)n]。

(1)若x=2,y=3，则此类有机物燃烧时消耗的O2与生成的CO2的体积比应为________。

(2)若消耗的O2与生成的CO2的体积比为3∶4，则此类有机物的通式应写为________，其中相对分子质量最小的有机物的结构简式为________________。

(3)碳原子数相同的某两种有机物[指(2)中提到的有机物]的相对分子质量分别为a、b，且alt;b,则b-a必定是________(填一个数字)的整数倍。

(1)将x=2,y=3代入“(x-y/2)∶x”中，可得消耗的O2和生成的CO2的体积比为1∶4。

(2)因(x-y/2)∶x=3∶4,故x=2,y=1,这类有机物的通式为[(C2O)m(H2O)n]。当m=n=1时，该类有机物的式量最小，所以该有机物的分子式为(C2O)(H2O)，即C2H2O2，其结构简式为OHC—CHO。

(3)若符合通式[(C2O)m(H2O)n]的某两种有机物的碳原子数相等而相对分子质量不等，则两种有机物的m值必相等而n值不等，显而易见，二者的相对分子质量之差(b-a)必为18的整数倍。

化学式的“重组”还可以举出不少例子，如将Fe3O4改写成“Fe2O3·FeO”等。下面再看一道题：

( )

A.10.6 g B.5.3 g

C.15.9 g D.无法确定

解析：最后得到的固体成分是CaCO3和NaOH。将Na2CO3、NaHCO3改写成“Na2O·CO2”“NaOH·CO2”，CaO与“CO2”组合为CaCO3，那么就只有Na2O需要结合“H2O”了，由题意可知，结合的水为29 g-27.2 g=1.8 g，即0.1 mol。

原混合物中含Na2CO3的质量为0.1 mol×106 g·mol-1=10.6 g。

湖南省娄底市第一中学)