一类三自由度碰振系统的Hopf分岔分析

吴鸿涛+官浩

摘要：建立了一类三自由度碰撞振动系统的非线性动力学模型，利用变步长龙格库塔法对系统在某一组确定参数下的运动微分方程进行了数值求解，通过分析系统在确定参数下的分岔图、相图及Poincaré映射图，分析了系统在的动力学特性，在此基础上研究了参数对系统的动力学影响，发现系统在该参数下的周期运动和Hopf分岔现象，以及在Hopf分岔过程中出现的混沌激变。

关键词：非线性动力学；碰撞振动； Hopf分岔；

0 引言

碰撞振动系统的动力学分析在非线性系统分析中非常常见，今年来，学科内很多学者都对碰撞-振动系统和Hopf分岔现象进行了深入的研究。罗冠炜[1]通过解析的方法分析了两自由度系统的稳定性和周期运动，并通过数值计算方法，对该解析解进行了验证；李朝峰[2]应用有限元法建立了碰撞-摩擦系统的数学模型，并分析了碰摩转子系统的碰摩间隙和摩擦系数对周期运动稳定性的影响；何玮[3]对高维多参数复杂约束系统的Hopf分岔做了研究。

在涉及到3自由度碰振系统的建模时，除了考虑碰撞的单边情况，还应对双边碰撞的情况有所涉及。本文以考虑双边碰撞的3自由度系统模型为对象，通过数值分析的方法对系统在两组确定参数下的Hopf分岔现象的分析，揭示了3自由度系统在激振频率变化过程中，系统的响应变化，Hopf分岔通往混沌状态过程中的激变，以及系统的混沌运动现象。

1 三自由度碰撞振动系统的数学模型

图1为一类三自由度双侧刚性约束的碰撞振动系统的动力学模型。 、 、 为质量块的质量， 、 、 为线性弹簧的刚度， 、 、 为线性阻尼器连接的阻尼系数。假设水平面为绝对光滑，即水平面与质量块间无摩擦力，质量块只在水平面做往复运动，并分别受到简谐激振力 （i=1，2，3）的作用。当质量块 的位移 等于间隙值B时，质量块 将与刚性约束A发生碰撞，在碰撞瞬时改变速度后又以新的速度运动，当质量块 的位移 等于间隙值D时，质量块 又与刚性约束B发生碰撞，在碰撞瞬时改变速度后又以新的速度运动，循环往复。假定系统中的阻尼为Rayleigh型比例阻尼，碰撞过程由恢复系数R确定。

图1：三自由度碰撞振动系统的动力学模型

根据牛顿第二定律，得到系统在任意两次碰撞之间的运动方程的无量纲形式为：

方程1.1中，"·"表示时间t的导数，假设 、 均不为零，上述方程中的无量纲量为：

其中

质量块M1的碰撞方程为：

其中 分别为振子m1 与平面A和B碰撞前后的瞬时速度。

该系统的运动情况为：质量块m1、m2 、m3 分别在简谐激振力的作用下，做往复运动，质量块m1 在于A面接触后，发生弹性碰撞，速度瞬间改变，随后以新的速度继续运动，回弹至B面时，依然发生弹性碰撞，碰撞后又以新的速度继续运动。

2 三自由度振动系统的响应分析

选取无量纲参数的值为：激振频率的振幅 ；质量块 ；阻尼比 ， ， ；弹簧的劲度系数 ， ， ；取激振频率 进行数值计算。得到在系统中，质量块的速度随激振频率变化的分岔图如图2所示。图3为局部放大的分岔图。图中横坐标为激振频率，纵坐标为质量块 的位移。从图中可以看出，随着激振频率的减小，系统分别出现周期1运动-Hopf分岔-周期1运动-倍化分岔-混沌-周期窗口等动力学行为。

图2 系统随激振频率变化的分岔图

为更清晰的展示系统在Hopf分岔时的动力学特性，图4给出了在不同激振频率取值下统的Poincaré映射图。图横坐标为质块 的速度，纵坐标为质块 的速度。

由图4可以观察出，当 时，系统响应为稳定的周期1运动，当 减小3.22时，周期1运动变得不稳定，形成吸引子，随着 的继续减小，明显观察出系统的周期1吸引子发生扩散，至 时，周期1运动沿清晰的吸引轨道吸引至光滑的Hopf环，Hopf环随着 的减小，形状逐渐变大，最终表面产生不光滑的褶皱，Poincaré映射图的拓扑结构发生改变进而通向混沌。在 左右时，系统瞬间激变转至周期1运动，并出现了周期倍化分岔。

图3系统Poincare映射图

在 系统的混沌运动区间内，出现了一段短暂的周期为三的周期窗口，截面图和相图如图4所示。图横坐标为质块 的速度，纵坐标为质块 的速度。

4 结论

本文建立了三自由度双边刚性约束系统的非线性动力学模型，分析了此类模型在两组参数下系统动力学行为的影响。分析结果表明：

1.该系统在激振力变化时，出现Hopf分岔是比较常見的一种情况；

2.概周期运动状态的Hopf环是不稳定的，可能会出现Hopf环的褶皱、畸变，并最终通往混沌；

3.经由Hopf分岔所达到的混沌状态可能会出现周期窗口，本文出现了周期窗口的周期为3。

Hopf分岔一直以来是一个比较经典的研究方向，Hopf分岔通往混沌的道路多种多样，Hopf分岔过程中除了上述两种情况，还有不稳定Hopf环等常见的动力学特性，本文的后续研究工作，会围绕不稳定Hopf分岔继续进行。

参考文献

[1] 罗冠炜. 两自由度塑性碰撞振动系统的周期运动与稳定性 [J]. 兰 州 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）， 2000， 36（3）： 61-66.

[2] 李朝峰，孙伟，闻邦椿.两处碰摩高维转子系统的周期运动稳定性分析[J].振动与冲击， 2010， s， 143-145.

[3] 何玮.高维多参数复杂约束系统的Hopf分岔与混沌[J].甘肃科技纵横，2005（3）：103-108.

[4] 唐进元，陈思雨，钟掘.一种改进的齿轮非线性动力学模型[J].工程力学，2008，25（1）：217-223.

[5] 苏程，尹朋朋.齿轮系统非线性动力学特性分析[J].中国机械工程，2011（16）：119-124.

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