用动态图示导出DFT变换对的课堂直观教学法

李翔

【摘要】数字信号处理是一门理论性很强的课程，当前多数教材在介绍DFT变换时直接定义DFT变换公式然后再提物理含义。按照这种常规教学大部分同学能套用DFT变换公式解答基本题，但对其物理含义理解模糊影响后续知识的深入学习和DFT變换的灵活应用。本文介绍用动态图示的方式推导DFT变换的教学过程，按照作者经验通过这种讲授方式不但可以让学生轻松的理解DFT变换的物理意义，而且能活用DFT变换求解复杂问题，收到的教学效果更好。

【关键词】信号处理；DFT变换；动态图示；教学法

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）10-0130-02

数字信号处理（DSP）是用数值计算的方法对信号进行处理，以达到提取信息便于利用的目的。从日常家用电器到工业生产过程，再到航天军事装备，几乎所有的工程技术领域都涉及到数字信号处理问题。《数字信号处理》是电子信息类本科生必须开设的必修专业基础课，内容主要是介绍数字信号处理的相关理论和方法，课程对数学基础要求较高，内容较抽象，理解难度偏大。面对应用型工程人才培养的地方本科院校，如何讲授好这门理论性较强的课程，以方便学生快速地理解和掌握教学相关内容，是摆在专任教师面前的一个教学难题。作者多年来主讲这门课程的教学经验是，按照待讲授内容的特点结合学生的基础情况，以动态图示的方式讲授相关内容，能够收到较好的课堂教学效果。

变换域分析法是数字信号处理的主要分析方法，例如序列的傅立叶变换，序列的Z变换分别是频域和复域分析法。通过变换域方法可实现时域中复杂信号处理的简化。离散傅立叶变换（DFT）是数字信号处理中的一种重要的变换域分析方法，DFT变换对给出了时域和频域等长有限长序列的相互表示关系。数字信号处理需要使用通用或专用的处理器来实现数值计算，要求时域和频域同时离散。DFT变换对正是满足这一要求的变换域分析方法，DFT变换在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。下面以DFT变换对推导为例，介绍动态图示在课堂教学过程中的应用。

一、回顾拓展

在推导DFT变换对前，向同学们陈述目前所学的各类傅立叶变换（FT）对，其时域或频域并不都适合计算机表示。然后，用图示方式依次表达这些变换对的物理含义，以下图示中无～标记的为有限长（主值）信号，有～标记的为周期信号；小写的为时域信号，大写的为频域信号。

1.连续非周期信号的FT

时域中一个连续非周期信号与频域中一个非周期连续信号能够相互表示，并且这种表示是唯一的。

2.连续周期信号的FT

时域中一个连续周期信号与频域中一个非周期离散信号能够相互表示，并且这种表示是唯一的。

3.离散非周期信号的FT

时域中一个离散非周期信号与频域中一个周期连续信号能够相互表示，并且这种表示是唯一的。

以上变换图示是到目前为止我们已经学过的变换，其中前三种变换称为连续时间傅立叶变换（CTFT），在先修课程信号与系统中学习过。第四种变换是数字信号处理课程中刚讲授过的，称为离散时间傅立叶变换（DTFT）。讲授时注意时域和频域各参数间的对应关系，尤其是一个域中信号的离散间隔和另外一个域中信号的周期间的对偶关系。离散时间信号（或称时间序列）我们可以称为二义信号，所谓二义信号是说这个信号既可以有离散观点的表示形式，也可以有连续观点的表示形式，进而采用相应的处理工具。在以上图示中，时间序列x（n）是离散表示式，理想抽样信号x（nT）是连续表示式，两者所指向的物理对象是同一个，所以x（nT）的CTFT与x（n）的DTFT是相同的，只是在数字信号处理中频域自变量习惯用数字频率ω表示而已，数字频率与模拟频率关系ω=ΩT。理想抽样信号和时间序列都是二义信号，根据需要写为相应的描述形式再用相应的分析法。因此，CTFT和DTFT从变换结果来看可以视为等价的一种变换。以上三种傅里叶变换的时频域特点小结如下：

归纳强调：（1）变换中两个域中的信号存在对偶关系，一个域中信号是否离散与另外一个域中信号是否周期相对应且存在定量联系；（2）目前学过的这三种变换形式，至少有一个域的信号不适合计算机系统处理。自然引出问题：是否存在一种变换能建立起时域和频域中的有限长序列之间的对应关系呢？答案是存在，即离散傅里叶变换（DFT）。

二、导出过程

DTFT称为离散时间傅里叶变换，或称有限长序列的傅里叶变换。DTFT变换对的图示描述如下：

x（n）的DTFT是以2π为周期，数字频率ω为自变量的连续函数。下面我们从DTFT变化对出发，利用时域和频域的对偶关系（即时域离散造就频域周期，频域离散造就时域周期），导出新的重要的变换——DFT，即离散傅里叶变换。

设有限长序列x（n）的采样间隔为T，序列长为N点，则序列的时长可记为NT；的数字频域抽样间隔记为ω0，与此对应所带来的时域序列x（n）的拓展间隔记为T0，则由对偶关系存在如下等式：

频域抽样定理：频域一个周期（2π）内的抽样点数不得少于时域序列的长度点数！

这里令频域抽样间隔为，此时，N点长时域序列以间隔NT进行拓展刚好不会发生混叠，如下右图：频域离散建立起了时域周期序列与频域周期序列的对应并且周期相同，并且任何一个域的周期序列只需另外一个域的主值序列就能表示出来。

变换对式（2）建立了时域N点有限长序列与频域周期为N的周期序列的对应关系。式（2）并没有反映如上右图显示的本质对应关系，因为频域离散所带来的对应关系应该是时域周期为N的周期序列与频域周期为N的周期序列的对应关系。频域一个周期采样N点造成时域N点有限长序列的周期拓展，拓展间隔刚好是N点（即有限长序列的长度点数N）。故频域的离散，意味着在变换对式（2）中将N点有限长序列视为了周期序列的主值序列。可以解释如下，式（2-2）的右边是一个关于n的周期为N的周期序列，但式（2-2）左边只关心主值范围内的N个值即，式（2-1）中亦只需N点主值序列就可确定。因此，将式（2）表为如下形式同样成立，继而反应频域离散包含的本质对应关系：

变换对式（4）建立了时域N点有限长序列与频域N点有限长序列的对应关系。这就是本次课导出的重要的变换关系——离散傅立叶变换（DFT）。从以上图示DFT变换对的导出过程可知，之所以能建立起时域有限长序列和频域等长的有限长序列的对应关系，是基于如下两个原因：一是时域周期序列与频域同周期的周期序列能够建立起对应关系；二是任意一个域的周期序列只需另一个域的周期序列的主值序列表示。从以上DFT的图示导出过程可知，可以存在的几种变换对关系小结列于下表中：

上表中，对于有限长序列，N指序列长度；对于周期序列，N指周期。类似与变换对[式（2）]，变换对[*]也是可以存在的。从以上图示导出过程可知，离散傅里叶变换（DFT）实质上是离散傅里叶级数（DFS），只是为了需要主观的将视野限制在主值区域，而这种限制从公式量值关系来说又是可行的，因此DFT变换对中隐含有周期性。DFS建立起了时域中的周期（N）序列与频域中的周期（N）序列之间的映射关系。DFT建立起了时域中的有限长（N）序列与频域中的有限长（N）序列之间的映射关系。DFT本质上是DFS，只是我们主观地将视野局限在了主值区间的范围。DFT是一种新的（针对处理序列类型而言）变换方法，变换后的信号满足在时域和频域中都为离散的有限长序列，适合计算机处理。

三、总结

本文在现有知识基础上借用对偶原理，通过图示教学方式简洁直观的推导出DFT变换且物理意义在导出过程中自然显现。另外，图示法导出DFT的过程中，还引出了其它三种可存在的变换包括DFS，通过彼此比较，DFT隐含周期性的含义更为清晰。另外，本文给出了推导DFS变换的另外一种途径。作者自从在课堂中采用图示法讲解DFT变换后，同学们对DFT变换对的认识层次大为提升，教学效果更好。在当前应用型人才培养背景下，专任教师更应该结合教学内容特点和学生现有基础有针对性的采用动态图示教学来提升课堂教学效果。

参考文献

[1]高西全，丁玉美.数字信号处理（第三版）[M].西安电子科技大学出版社，2008.

[2]程佩青.数字信号处理（第二版）[M].清华大学出版社，2001.endprint