古代数学名著《九章算术》简介

肖学军

《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种.所谓“算经十书”，就是指汉唐之间出现的10部古代算书.《九章算术》成书于公元1世纪左右.该书内容十分丰富，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，其中，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.这是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.

《九章算术》全书采用问题集的形式，收录了246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题都包括问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术.这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股这九章.它们的主要内容分别是：

第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法，包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环等8种图形面积的计算方法.另外，还系统地讲述了分数的四则运算法则以及求分子分母最大公约数的方法等.

第二章“粟米”：主要解决谷物粮食的按比例折换的问题，提出比例算法，称为今有术.

第三章“衰分”：讲述比例分配问题；“衰分”章提出的比例分配法则，称为衰分术.

第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等问题；还介绍了开平方、开立方的方法.

第五章“商功”：主要涉及土石工程、体积计算；除给出各种立体体积公式外，还有工程分配方法.

第六章“均输”：主要内容是如何合理攤派赋税，用衰分术解决赋役的合理负担问题.今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例，比例分配，复比例，连锁比例在内的整套比例理论.西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法.

第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，并给出了若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法.这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大.

第八章“方程”：提出了一次方程组问题.采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵.解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致.这是世界上最早的完整的线性方程组的解法.在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则.这一章还引入和使用了负数，并提出了正负术即正负数的加减法则，与现今代数中的法则完全相同.解线性方程组时，实际还施行了正负数的乘除法.这是世界数学史上的一项重大成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系，外国则到7世纪，印度的婆罗摩笈多才认识负数.

第九章“勾股”：提出利用勾股定理求解的各种问题.其中绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的，提出了勾股数问题的通解公式.在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到公元3世纪，丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚了约3个世纪.勾股章最后一题给出的一组公式，在国外直到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出.

《九章算术》还流传到了日本、朝鲜和阿拉伯地区，对其古代的数学发展产生了很大的影响.

（作者单位：南京师范大学第二附属初级中学）endprint