利用空间向量寻找直棱柱中过某线段且垂直于已知平面的平面

官欣

摘 要：在直棱柱中找过某一线段且满足其他条件的平面的问题，由于此类考题思维的逆向性，加之需要较强的空间想象力，是立体几何考查中的一个难点。解决此类问题往往依据的是对直棱柱性质的熟练程度和解题经验。本文通过具体例子，利用空间向量，找到了一种解决此类问题的通法。

关键词：直棱柱；空间向量；找平面

在2016年10月举行的昆明市2017届高三摸底调研测试理科数学试卷的第15题，难倒了不少学生，甚至不少老师也觉得比较棘手。

第15题题目如下：

如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α截该正方体所得截面的面积为 。

图1

基本思路：在正方体内找一条线，使之与平面A1BD垂直，同时，这条直线和直线B1D1相交（或在直线B1D1上找一个点，过此点作直线，使得该直线与平面A1BD垂直）。很多学生会习惯性地找到正方形A1ABB1的对角线AB1，线段AB1虽然与A1B垂直，但不与平面A1BD内的其他线段垂直，同理AD1也不是满足条件的线段（如图2）。

图2

到这里思路就断了。对正方体性质熟悉的老师和学生都知道，其实对角线AC1是垂直于平面A1BD的，只需要在线段B1D1上找一点，过此点作AC1的平行线，那么，垂直于平面A1BD的平面α就找到了，再作出平面α与正方体的交线就可以得到所求的截面。

由以上的叙述可以看出，如果不知道正方体对角线AC1垂直于平面A1BD这一性质，想用几何法找出这个截面难度是比较大的。

不如换一种思路，由正方体想到建立空间直角坐标系，利用空间向量的特性来尝试解决。

基本原理如下：平面A1BD的法向量所在的直线垂直于平面A1BD，由向量的性质可知：要找到过B1D1垂直于平面A1BD的平面，只需找到平面A1BD的法向量n，作出n所在的直线，然后在线段B1D1上找一点，过此点作出n所在的直线的平行线，平面α就找到了，再作出平面α与正方体的交线就可以得到所求的截面，进而求出该截面的面积。

解析如下：

如图建立空间直角坐标系，由正方体棱长为2，有：

A1（2，0，2），B（2，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2）， A1B=（0，2，-2），DB=（2，2，0）

设n=（x，y，z）为平面A1BD的法向量，则

A1B·n=0DB·n=0，整理得y-z=0x+y=0，令 z=1，得n=（-1，1，1）。

因为AC1=（-2，2，2），所以AC1与n为共线向量，即AC1为平面A1BD的一个法向量，故只需在线段D1B1上找一点，并过此点作AC1的平行线即可作出所求平面，该平面与正方体的交线组成的平面即为满足题意的截面α，然后求出平面α的面积即可。

为方便解题，利用三角形中位线定理，连接A1C1，AC1，且A1C1，D1B1交于点M，作MN平行AC1，连接NB1，ND1，则平面NB1D1就是所求截面，且N为AA1中点（如图3）。

图3

计算得三角形NB1D1的面积为6，所以在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α截该正方体所得截面的面积为6。

到这里，题目得到了解答，但是思考并没有结束：长期以来，我们在对空间向量的教与学中，强化的是利用空间向量来证明空间中的线和面，面和面的平行、垂直关系，用于计算点到面的距离，直线和平面所成的角，计算二面角的大小等，这道题提示了我们关于空间向量的一个新的用法：可以用来找经过某一已知直线与另一平面垂直的平面。不仅仅对于正方体可用，还可以推广到长方体，直棱柱。

结论：1. 若正方体棱长为a，若经过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，則平面α截该正方体所得截面的面积为64a2；

2. 底面边长为a，侧棱长为b的直四棱柱，若经过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α与该四棱柱侧棱AA1的交点在A1点距A点ab个单位处。

3. 若直四棱柱的底面为矩形，平行四边形，菱形，则用通法利用作与已知平面的法向量共线的向量的方法来找到与已知平面垂直的平面。endprint