初中数学函数的对称性研究

孔玉林��

摘要：在初中数学的课本上，函数知识占据了数学知识很大的比例，掌握函数的基本性质和应用，对函数知识大模块中的每个小模块都要熟知了解。本文对初中数学当中涉及的函数做了简单的解析。

关键词：初中数学；函数；对称性

初中数学中的函数知识，包含了很多类别的函数，这些函数之间的关联不是特别大，要利用好函数对称性，来深入研究函数的知识。中考的时候，函数亦属于必考的内容，在某种意义上来说，可以把函數划分为数学的重难点部分。初中数学上的函数，只是对函数的基本认识了解，把函数的不同的知识点进行分析、比较，可以更加清楚地掌握函数知识。

一、 函数的基本概述

在数学的教材学习领域中，函数占有了非常重要的地位，其中函数的理论和应用基本贯穿了数学的各个领域，是数学中的一股主线。理解函数的意义和概念，并且要会画函数图象，掌握其性质。现代的数学思想中的函数思想也很具有代表性。

函数糅合了现代数学的有关计算以及几何的推理论证等一系列内容，在探索初中函数中，着重分析了函数解析式的确立、性质归纳、函数图象等。因为函数蕴含了丰富的性质规律等知识点，要掌握这些性质及规律，并且灵活运用到函数的运算中。函数的知识是改变数学思维方式的重要转折点，是定量变量知识上的突破，数学知识中的重要思想方法就是函数知识和方程。

因为函数的各个分支函数有很多相似点，但是关联性不强，所以在学习的时候很容易把函数中的公式和分类相互混淆，所以函数的对称性很重要，函数的对称性考点也特别多，初中数学中涉及的函数知识不是特别复杂，函数的对称性包含了函数图象及轴对称性等。

二、 函数的解析

（一） 一次函数

什么是一次函数呢？自变量x与因变量y，关系公式：y=kx+b，注意其中的k，b为常数，而且k≠0，x的指数必须是1，那么便把y称为x的一次函数。如果当b=0（y=kx）的时候，就会发生变化，一次性函数关系转换成y是x的正比例函数。说明：正比例函数亦属于特别的一次函数。正比例函数解析式，它的结构特征是k≠0，只有1次的自变量次数，可以取任意实数的自变量范围。正比例函数没有对称轴，是经过原点的直线。

一次函数的y=kx+b（k≠0）和正比例函数y=kx（k≠0），这两个从函数性质和解析式是非常相像的，比如可以从它的规律上来分析，当一次函数y=kx+b的时候b=0，这时候一次函数便成了正比例函数。但是当k>0的时候，那么y都是随着x的增大而增大；反之当k<0的时候，y会随着x的增大而减小。

一次函数的图象是一条直线：一次函数y=kx+b，是一条经过（0，b）的直线。在两个一次函数的表达式中有四种情况：当k和b都相同的时候，两个一次函数的图像重合；当k相同而b不同，则图像平行；当k不相同而b相同的时候，图像交于y轴上的同一点；而当k和b都不相同的时候，则图像相交。

（二） 反比例函数

什么是反比例函数呢？反比例函数指的是y=k/x（k≠0），k属于常数的情况，我们便把y称为x的反比例函数。反比例函数的图象属于双曲线，其特点是有两个分支，位于不同的象限内。

反比例函数的性质是，当k>0的时候，两个分支在第一和第三的象限当中，并且y会随着x的变大而变小；而当k<0的时候，分支便在第二和第四的象限中，那么y就会随着x的变大而变大。反比例函数图象原点对称。

正比例函数y=kx（k≠0）和反比例函数y=k/x（k≠0），如果就函数的性质和解析式来看的话，类似但区别很大。其中它们一样的地方是比例系数都不可以为0，一旦为0后，就会变成常值函数；不一样的地方是正比例函数的比例系数同自变量是乘积式的模式，而反比例函数则为分式，前者的变量之比属于常量，后者的两变量乘积属于常量。另外，二者的自变量次数也不一样，正比例函数的变量只有1次，反比例函数的自变量是-1次。图象上与x轴、y轴的交点亦不一样，前者的图象与x轴、y轴的交点为（0，0），而后者却只能无限地接近，但永远不能与之相交。

（三） 二次函数

二次函数指的是如果y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0），我们便把y叫做x的二次函数。它的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线。二次函数的性质在图象上是有对应的，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是原点，那么其对称轴就是直线，而且顶点必须位于对称轴上；当a>0的时候，抛物线的开口方向便是朝上上，顶点是在最低点，当a<0的时候，开口方向朝下，且顶点便是在最高点。抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0，c），y=ax2+bx+c与x轴没有公共点。

在函数公式中，抛物线有三个要素：抛物线的开口方向，对称轴以及顶点。二次函数的的图象是抛物线，也是轴对称图形，对称轴也是平行于y轴或者就是y轴的直线。只要把函数的对称性的概念和规律掌握稳固，将函数图象用到函数的计算解答里面，对学习好函数，而不把函数之间的概念公式搞混有很好的帮助。

三、 结束语

对初中生来说函数是初次接触，且函数包含的知识点也相对复杂，在数学的学习中函数是知识的一个重难点。很多的学生惧怕学习函数，一眼展去，函数知识点的确繁多，并且函数知识的关联性不是很强，一不注意就容易混淆。不同的函数类型的题，要根据不同的公式进行解答。但是函数具有抽象性，在学习的时候，把函数的表征相对的结合起来看，函数也不是那么的复杂难懂。因为函数的三种表征：图象、文字、符号，并且函数有对称性，这也是函数具有的独特特点，不像是数学大部分只有单一的公式，在平时的学习中，可以利用函数的三种表征，去探究和理解。

参考文献：

[1]何晓军.初中函数教学中图像表征的实效研究[D].上海师范大学，2012.

[2]钱从新.一元n次多项式函数对称性的充要条件[J].数学通报，2012，08：58-59.

[3]袁彩辉.利用对称性，巧解函数题[J].初中生世界，2016，15：66-68.endprint