一种基于贝叶斯正交匹配追踪的水下多径稀疏信道估计方法

林格平，马晓川，鄢社锋，王敏



一种基于贝叶斯正交匹配追踪的水下多径稀疏信道估计方法

林格平1,2,3，马晓川1,2,3，鄢社锋1,2,3，王敏4

(1. 中国科学院声学研究所，北京 100190； 2. 中国科学院水下航行器信息技术重点实验室，北京 100190； 3. 中国科学院大学，北京 100190； 4. 中国计量科学研究院，北京 100029)

使用训练序列构成的测量矩阵并采用稀疏恢复算法是近年来常用的多径稀疏信道估计思路。提出一种贝叶斯匹配追踪算法的正交化改进方法，有效地改善了原方法的收敛速度，并将其应用于水下多径稀疏信道估计。进行了新方法的理论推导和两种水下稀疏信道模型中的仿真试验，进而与传统贪婪迭代和贝叶斯估计方法的估计效果进行了对比。仿真结果证明，所提出的新方法比原方法的收敛速度更快，能更高效地进行多径稀疏信道估计。新方法在低信噪比和呈簇状集中分布的水下多径稀疏信道中也有更好的估计效果。

稀疏信道估计；正交匹配追踪；贪婪算法；贝叶斯模型选择

0 引言

稀疏信道是指存在时延扩展但多径数量很少的信道，这是由信道的衰减和多径效应造成的。很多信道都是稀疏信道，比如水下声信道[1]和高清电视信道[2]。在水声信道中，一般主要考虑海面反射、海底反射、海面-海底反射和直达路径四种路径，如图1所示。

图1 典型的多径稀疏信道—水声信道示意图

由图1可以看出稀疏信道中的多径效应。信道的多径时延扩展，造成了信号畸变和码间干扰(Inter-Symbol-Interference，ISI)，使误码率增加，将严重影响通信的可靠性。于是信道的均衡技术应运而生。均衡技术的前提是对信道状态信息的获取。这正是我们需要进行快速而准确的稀疏信道估计的原因。

近年来稀疏信道估计问题引起了广泛关注，学者们进行了大量相关的研究。经典的信道估计方法是采用匹配滤波方法进行的，这种方法相当于将发射和接收信号做互相关处理，该方法虽然对噪声的容忍性较强，但在多径间隔小于分辨率极限时，它无法区分两条多径。最小二乘法[3]是另外一种常用的方法，这种方法原理简单，但抗噪性能差，无法保证估计精度。近年来也有将阵列信号处理中的MUSIC[4]等方法应用于稀疏信道估计的研究[5]。以上方法均是在密集信道的前提假设下提出的，但未对信道的稀疏性加以考虑。事实上，信道的稀疏性能给问题的解决带来很大的便利，压缩感知和稀疏信号恢复理论[6-7]在此类问题上进行了深入讨论。已有若干学者借助稀疏信号恢复理论对稀疏信道估计问题进行了研究，例如文献[8]最早将匹配追踪方法[9]应用于稀疏信道估计问题，这是一种根据贪婪准则迭代确定多径位置和幅度的方法，效率远好于传统估计方法。文献[5]和文献[10]分别将正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)[11-12]和基追踪方法(Basis Pursuit，BP)应用于水声稀疏信道估计，均取得了较好的估计效果。稀疏信道估计的另一种思路是贝叶斯方法，如相关向量机方法(Relevance Vector Machine，RVM)或贝叶斯压缩感知方法(Bayesian Compressed Sensing，BCS)[13-14]，已被应用于正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)的稀疏信道估计[15]。贝叶斯匹配追踪(Bayesian Matching Pursuit，BMP)是一种将贪婪搜索与最大后验准则结合的信号恢复方法[16]，也非常适用于稀疏多径信道估计问题，但是仍然存在收敛速度不理想的问题。本文正是针对这个问题展开研究，将正交化引入贝叶斯匹配追踪，提出了贝叶斯正交匹配追踪(Bayesian Orthogonal Matching Pursuit，BOMP)估计方法以改善其迭代的收敛速度。本文不仅对此进行了理论推导，给出具体的算法流程，还针对两种不同的水下多径稀疏信道进行了仿真试验，与传统贪婪迭代估计方法中的OMP、StOMP(Stagewise Orthogonal Matching Pursuit)[17]以及贝叶斯估计方法中的RVM和BMP的性能进行了对比。仿真结果证明，本文提出的方法具有更好的迭代收敛速度，并且在低信噪比和多径间距小、呈簇状集中分布的水声信道中的估计精度比常用的稀疏信道估计算法具有明显优势。

1 系统模型的建立

将上式重写为

然后用表示卷积中的信号矩阵，这里把它当作稀疏恢复中的测量矩阵来使用。将式(5)写成矩阵形式，得到

是由训练序列构成的Toeplitz矩阵。由于信道的稀疏性，中的多数成分为零，非零元素代表不同延时的幅度值。对此信道进行估计就是找出这些延时并计算非零项的大小。如果其中非零项个数为，那么这个信道称为-稀疏的或信道的稀疏级为。

2 本文提出的方法

首先进行稀疏模型选择，也就是在给出接收信号的情况下选择模型。在这里使用贝叶斯原理，模型选择后验概率为

将上式的分子作为模型选择量并求对数，得到

在确定模型向量后，下一步工作是求中的非零值的幅度。在这里采用最小均方误差准则来求解

由参考文献[19]进而得到

另一方面，由于匹配追踪的收敛速度依赖于残差和被选出的模型对应的字典列向量之间的正交性。所以匹配追踪的收敛是一种渐进收敛，在有限步数的迭代之后得到结果是次优的。为了提高这种方法的迭代速度，在每次更新残差时，使残差与被选出的模型对应的字典列向量正交。在每次得到新的模型后，采用最小二乘方法得到的预估计：

将新方法的处理流程总结如下：

初始化：

3 仿真试验

在本节中，将本文提出的算法用数值仿真试验进行验证。试验将从估计结果、收敛速度和估计误差三方面分析本文算法的性能，并与OMP、StOMP、RVM和BMP进行对比，得到它的优势和缺点。

3.1 仿真条件

选择浅海水声通信为物理背景进行研究。参考文献[20-21]，采用线性调频波作为训练序列：

在仿真中选取两种不同的水下多径稀疏信道模型。这两种信道的冲激响应都通过声线模型计算出来，它们的多径数即信道稀疏度分别为16和35，信道总长度为250。两种信道模型的信道冲激响应分别如图2和图3所示。模型2相比模型1，幅度明显提高，具有更多的多径数且多径呈明显簇状分布，是一种更加典型的水声信道。在两种水声稀疏信道模型下分别进行算法仿真有助于对算法的普适性进行验证。两种通信和信道参数分别在表1和表2中列出。

仿真试验中，假设发射的训练序列经过信道后，得到观测数据，由和来估计多径稀疏信道的冲激响应。在对算法的估计精度进行评价时，与声线模型计算得到的信道冲激响应进行对比。

图2 信道冲激响应(模型1)

图3 信道冲激响应(模型2)

表1 仿真试验中采用的模型1通信参数

表 2 仿真试验中采用的模型2的通信参数

本节中的数值仿真都是在CPU主频为2.93 GHz、内存为3GB和操作系统为Windows7的计算机上进行的，仿真环境为MATLAB2013a，对算法都进行100次蒙特卡罗试验3.2 仿真结果。

3.2.1 冲激响应估计结果

本文所提出的BOMP对模型1信道在信噪比为20 dB时的估计，如图4所示。采用采样点来表示延迟，从图4可以看出，BOMP对模型1信道的估计与真实信道冲激响应非常接近。BOMP不仅能准确找到多径的位置，而且对幅度的估计也很接近实际值。

BOMP对模型2信道的估计如图5所示。对比图2可以看出，BOMP在对多径数明显增加的模型2进行信道估计时，基本能将多径位置和幅度准确地估计出来。

图4 BOMP的估计结果(模型1, SNR=20 dB)

图5 BOMP的估计结果(模型2, SNR=20 dB)

3.2.2 收敛速度和估计效率

对本文所提出的方法的收敛性进行研究。本文所提算法的出发点就是利用正交性在贝叶斯匹配追踪的基础上改善收敛速度。首先考察BOMP和BMP收敛时迭代次数的对比，图6展现的是在模型1下两者估计误差与迭代次数的关系。从图6可以看出，BOMP相比于BMP，整体的迭代收敛次数远远低于BMP；BOMP的估计误差在步数大于多径数时变化不大，而BMP则需要3倍于多径数的步数；相同的估计误差下，BMP需要3～8倍于BOMP的步数。这些结果与理论分析基本吻合。

图6 BOMP的估计误差随迭代步数的变化

另一方面，正交化过程会带来计算量的增大，每一步迭代中都要进行的最小二乘计算是造成计算量增大的主要原因。在这种情况下，考察了BOMP和BMP的估计效率，并做了比对，如图7所示。由图7可以看出，尽管BOMP的每一次迭代运算时间多于BMP，但是由于迭代次数大大减少，所以总的运算时间仍然少于BMP，估计效率也高于BMP。在同样的估计误差下，新方法的运算时间比BMP缩短一倍以上。

图7 BOMP的估计时间随估计误差的变化

选取了BOMP和BMP以及几种传统估计方法StOMP、OMP、RVM，在模型1下对它们的运算时间进行测试，以观察他们的估计效率。结果如表3所示，从表3可以看出本文提出的方法较BMP在效率上有明显提升，但由于运算复杂度高于传统贪婪迭代方法和相关向量机方法，估计效率比这几种传统方法低。

表3 运算时间对比(s)

3.2.3 估计精度

另外一个需要考察的重要的性能指标是估计精度，这是直接影响到通信性能的指标。本文选取估计结果的均方误差(Mean Square Error，MSE)随信噪比的变化来考察这一性能。MSE的计算方法如下：

由图8可以看出，信道模型1下，BOMP在信噪比不超过9 dB时性能优于其他估计方法，而BMP的性能与BOMP接近但稍差。随着信噪比的提高，BOMP的估计精度变化不大，在信噪比高于10 dB时，估计精度比RVM和StOMP差，说明在模型1这种多径数不太大的情形下，BOMP是一种对噪声不太敏感的估计方法，且在低信噪比下有更好的估计效果。由图9可以看出，在信道多径数变大且呈簇状分布的情况下，BOMP在高信噪比时的估计性能有所提高，与RVM和StOMP接近，并且在低信噪比下仍然保持了很好的估计性能。在信噪比不高于20 dB的条件下，BOMP的估计精度比传统方法中性能较好的RVM方法提高了大约3 dB以上。由此可见，本文提出的方法对于多径效应明显、扩展严重且信噪比条件较差的水声多径稀疏信道的估计问题具有较好的估计性能。

图8 BOMP估计误差与其他算法的对比(模型1)

图9 BOMP估计误差与其他算法的对比(模型2)

4 结 论

本文从水下稀疏多径信道估计的问题出发，针对贝叶斯匹配追踪收敛速度较差的问题，在进行贝叶斯模型选择时对其进行了正交化改进，使其收敛速度更快，再用最小均方误差准则进行幅度估计。进而采用两种水声稀疏信道模型进行了仿真试验，仿真结果证明，本文所提出的BOMP方法相比BMP，可以明显改善估计速度，在同样的估计误差下可以将估计速度提高一倍以上。在多径数大且多径呈簇状集中分布、信噪比较低的典型水下多径稀疏信道场景中，本文提出的方法在估计精度上比传统贪婪算法和相关向量机方法也有明显提升。另外，由于目前的条件限制，暂时缺少试验数据以对本文的方法进行验证，这将作为今后一个重要的努力方向。

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Underwater multipath sparse channel estimation via bayesian orthogonal matching pursuit

LIN Ge-ping1,2,3, MA Xiao-chuan1,2,3, YAN She-feng1,2,3, WANG Min4

(1. Institute of Acoustics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China;2. Key Laboratory of Information Technology for AUVs, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China;4. National Institute of Metrology, Beijing 100029, China)

Constructing a measuring matrix with training sequence and then using sparse recovery algorithms is a usual approach to multipath sparse channel estimation. In this paper, an improved Bayesian matching pursuit is proposed and applied to underwater multipath sparse channel estimation. We illustrate the method theoretically and test it on two models of underwater multipath sparse channel. Performance of this algorithm is shown in comparison with conventional estimating methods. Numerical simulations demonstrate that estimated result of this method converges faster than that of BMP, thus it estimates multipath sparse channel more efficiently. What’s more, the proposed method provides better performance than conventional ones in low-SNR conditions and in the channels with many close paths.

sparse channel estimation; orthogonal matching pursuit; greedy algorithm; Bayesian model selection

TN929.3

A

1000-3630(2017)-05-0484-07

10.16300/j.cnki.1000-3630.2017.05.015

2017-01-22;

2017-5-22

国家自然科学基金(61431020)资助项目

林格平(1989－), 男, 河北邯郸人, 博士研究生, 研究方向为数字信号处理。

林格平, E-mail: lgp606@126.com