浅议导数的概念教学

葛守富

摘 要：导数概念的教学一直是高等数学教学的难点之一，本文将从问题情境出发，帮助学生进行意义建构，进而使学生形成导数的概念。在这个过程中，我们通过物理和几何两个情境搭建起导数的概念模型，从而达到突破难点的目的。

关键字：导数；瞬时变化率；极限

微积分是高等数学的主要内容之一，在微积分的教学过程中，导数的概念既是微分学的重点，也是微分学的难点，因此，我们采用问题情境教学，帮助学生从物理和几何两个方面进行意义建构，形成导数的概念，最后我们回扣经典问题，形成导数的物理模型。

1 创设问题情境——两个经典引例

首先，我们从牛顿在研究变速直线运动时遇到的问题开始，看一下变速直线运动的瞬时速度怎样计算？物体作变速直线运动，不同时间对应着不同位移，時间发生变化，位移也跟着变化，于是设描述物体运动的位置函数 ，大家知道，直线运动中，物体运动的平均速度应该等于路程除以时间，即它所行进的位移除以它用的时间。在这个运动过程中，如果我们测得物体在t0时刻的位移 和在t时刻的位移 ，就应该能得出物体在t0到t时刻的平均速度 应该等于位移差比时间差 。大家想一下，现在我们要求t0时刻的瞬时速度，

怎么办？在牛顿那个时代没有测速器，现有的手段只能测得位移和时间。这个问题用初等方法是不好办了。看一下牛顿是怎么想的：如果让t靠近t0一点，这段路程的平均速度 就离t0的瞬时速度接近一点，再靠近一点，就再接近一点，也就是说，t靠近t0越近，t0到t时刻的平均速度 就越接近t0时刻的瞬时速度。也就是说，让 ，这时平均速度就应该趋于t0时刻的瞬时速度。于是t0时刻的瞬时速度就是这个极限。

如果我们记 ， ，这个极限还可以写成

，这是因为 时 ，其中 叫位移增量或改变量，

叫时间增量或改变量。如果我们把 中的t换成用t0来表示，这个极限

还可以写成 ，这是因为 ，把 换成

， 。这是第一个实例物理学中的变速直线运动中

的瞬时速度 。

其次，我们来看几何学中的平面曲线的切线斜率。首先回想一下圆的切线是怎样定义的：圆的切线是和圆有一个公共点的直线。这个关于切线的定义在历史上首先是法国数学家笛卡尔提出来的。但对一般平面曲线来说，这个定义是有缺陷的，曲线C上与它有公共点M的直线不止一条，哪一条才是切线呢？或者说切线应该怎样定义？笛卡尔后过了几十年，当哲学中运动的观点进入数学后，数学家们敏锐地发现，当切线MT绕切点转动时，稍微一动就变成曲线的割线了。于是曲线的切线就有了准确的定义：曲线上某一点的切线就是曲线上过这一点的割线的极限位置。也正是这个思想，让莱布尼兹求出了平面曲线的切线斜率。

曲线C： 过点M处的切线就是割线MN当 时的极限位置MT，当 时MN的倾斜角 趋于MT的倾斜角 ，切线MT的斜率 ，就可以看成是当 时 的极限。这时，假设我们知道M点的横坐标是 ，N点的横坐标是 ，就有割线MN的斜率 ，从而将

换上，即 ，而 就是 ，就是

，即 。同样我们让 ，

就有 等于的这个极限也可以写成 ，这是因为

时 ，其中 是函数增量， 是自变量增量，如果我们把 中

的 用 表示，这个极限还可以写成 ，这是因

为 ，把 换成 ， 。这就是平面曲线

的切线斜率 。

2 进行意义建构——形成导数的概念

这两个问题作比较，发现他们有一个共性：所求量都是函数增量与自变量之比在自变量增量趋于0时的极限。

把这个共性抽象出来就是导数的定义。设函数 在点 的附近有定义，就是在点 的某个邻域内有定义，若

存在，则称函数 在 处

可导，并称此极限值是函数 在 处的导数。记作： ； ；

； 。即： 。

如果极限 不存在，就说函数

在 处不可导。

3 回扣经典问题

有了导数定义，我们再来看这两个实例：瞬时速度 ，按照导数定义就是位移函数 在 时刻的导数

。切线斜率 ，按照导数定义就是函数 在

处的导数 。

类似的问题还有：瞬时加速度是速度增量与时间增量之比在时间增量趋于零的极限，也可以看成是速度函数在某一时刻的导数；瞬时角速度是转角增量与时间增量之比在时间增量趋于零的极限，也可以看成是转角函数在某一时刻的导数；电流强度是电量增量与时间增量之比在时间增量趋于零的极限，也可以看成是电量函数在某一时刻的导数。等等，类似的问题还有很多，这些都是瞬时变化率的问题，也就是说只要是瞬时变化率的问题就可以看成是导数的问题。

我们从以上三个方面阐述了如何利用问题情境教学法设计导数概念的教学思路。问题情境教学法是数学概念教学的主要方法之一，这样设计不仅有利于帮助学生建构数学概念，而且还培养了学生归纳抽象的思维能力。endprint