一类高阶非线性系统的有限时间镇定问题

谢晶

摘 要：研究了一类高阶非线性系统停息时间可调的有限时间稳定性分析与控制器设计问题。利用有限时間Lyapunov定理的反步构造法，设计状态反馈有限时间控制器，并实现停息时间的适当调整。

关键词：非线性系统 有限时间镇定 反步构造法

中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（c）-0219-02

近十多来年，有限时间稳定与镇定问题受到了较大的关注，得到了广泛的研究[1-7]。对比于Lyapunov意义下的渐近稳定性，有限时间稳定性具有动态响应速度快、稳态跟踪精度高、对参数摄动和外部干扰具有强鲁棒性等特性。

1 问题的提出

在本文中，考虑一类具有如下形式的高阶非线性系统：

（1）

其中，是间距系统的状态向量，为系统控制输入，是连续函数，且。为奇数之比，且。

为了讨论方便，定义，，下面给出系统（1）满足的假设条件：

假设1：存在数，且，使得，其中。

假设2：取如假设1所示，系统（1）满足下式

，； 是已知C1的函数

2 控制器设计

这部分我们利用反步构造法[2]，设计一个状态反馈控制器，使得系统（1）有限时间稳定。

步骤1：首先构造Lyapunov函数，取，由假设2得：

（3）

定义连续的虚拟控制，其中是函数，常数是待定的设计参数，下文将证明的值对于调整停息时间起关键作用。则

（4）

步骤2（归纳假设）：

假设在第k-1步，存在一个Lyapunov函数，使 （5）定义虚拟控制如下：

其中是函数，且

（6）

下证在第k步中， 不等式（5）和（6）也成立。

令， 其中

则是光滑的，正定的，适定函数，且满足。

并且，，有

（7）

由文献[1]得：

，. （8）

；. （9）

；. （10）

将（8）-（10）代入（7）式，得：

令， .则 （11）

步骤3：当时，令，则

成立.

令实际反馈控制率为，可知.

3 有限时间稳定性分析

为了证明该系统的有限时间稳定性，选择，由知。因此，容易推出：

。

可知系统（1）是全局有限时间稳定的，并且停息时间满足进一步，由于是待定参数，若系统的初始值已知，那么通过选择，可实现停息时间的任意调整。至此，控制设计完毕。

参考文献

[1] Qian C and Lin W. A continuous feedback approach to global strong stabilization of nonlinear systems[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001，46（7）：1061-1079.

[2] Haimo V T. Finite-time controllers [J]. SIAM Journal on Control and Optimization，1986，24（4）：760-770.

[3] Bhat S P， Bernstein D S. Finite-time stability of continuous autonomous systems[J]. SIAM Journal on Control and Optimization， 2000，38（3）：751-766.

[4] Bhat S P， Bernstein D S. Continuous finite-time stabilization of the translation and rotational double integrators[J]. IEEE Transaction on Automatic Control，1998，43（5）：678-682.

[5] Hong Y，Wang J，Xu Y. On an output feedback finite-time stabilization problem[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001，46（2）：305-309.

[6] Hong Y，Finite-time stabilization and stabilizability of a class of controllable systems[J].Systems and Control Letters，2002，46（4）：231-236.

[7] Jiang Z， Mareels I. Robust nonlinear integral control[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001（46）：1336-1342.endprint