潘勒韦Ⅲ差分方程亚纯解的唯一性

汪晓明,高宗升,陈敏风

(北京航空航天大学 LMIBamp;数学与系统科学学院,北京 100191)

潘勒韦Ⅲ差分方程亚纯解的唯一性

汪晓明,高宗升,陈敏风

(北京航空航天大学 LMIBamp;数学与系统科学学院,北京 100191)

研究了潘勒韦Ⅲ差分方程有限级超越亚纯解的唯一性问题,证明了在一定条件下,如果潘勒韦Ⅲ差分方程的有限级超越亚纯解w和另一个亚纯函数w˜有两个不同的有限分担值并且有完全相同的极点(计重数),那么w≡w˜.

潘勒韦Ⅲ差分方程;超越亚纯解;分担值

0 引言与结果

本文所用概念和记号为Nevanlinna值分布理论中的基本概念和记号,见[1-2].另外用ρ(f)表示亚纯函数f(z)的增长级,用S(r,f)表示满足S(r,f)=o(T(r,f)),r→∞,的任意量,可能需除去一对数测度有限的例外集.

如果亚纯函数a(z)满足T(r,a)=S(r,f),那么称a(z)为f(z)的小函数.

设f(z)与g(z)为非常数亚纯函数,a为任意复数,如果f(z)−a与g(z)−a的零点相同并计重数(或不计重数),则称a为f(z)与g(z)的CM(或IM)分担值,也称f(z)与g(z)CM(或IM)分担a.如果f(z)与g(z)的极点相同并计重数(或不计重数),则称∞为f(z)与g(z)的CM(或IM)分担值,也称f(z)与g(z)CM(或IM)分担∞.

在文献[3]中,吕锋等人证明了Malmquist型差分方程的唯一性定理,得到了如下结果.

定理A 设f是Malmquist型差分方程

的有限级超越亚纯解,其中aj(/≡0),bk,dl为f的小函数,cj(/=0)为两两互异的常数,bp/≡0,dq/≡0,P,Q为关于f的互质多项式,n,p,q为整数且满足p≤q=n.令I(z,f)=cj),H(z,f)=Q(f)I(z,f)−P(f),e1和e2是两个不同的有限复数且H(z,e1)/≡0,H(z,e2)/≡0.如果f和另一个亚纯函数g CM分担e1,e2和∞,则f≡g.

Onni Ronkainen在文献[4]中研究了差分Painlev´eⅢ方程,并得到如下结果.

定理B 假设方程

有可允许亚纯解w且超级小于1,其中R(z,w)是关于z的亚纯函数,关于w的有理函数,那么或者w满足下面的差分Riccati方程

其中α,β,γ为代数体函数,或者方程(1)可以转化为下列方程之一.

本文受到定理A的启发,用类似的方法研究了方程(2a)—(2d)(m/=2)在系数全为小函数时的有限级超越亚纯解的唯一性问题.因为方程(2a)—(2d)右边都是关于w的次数不超过2的有理函数,为叙述方便,我们将右边都写成

的形式.

令I(z,w)=w(z+1)w(z−1),H(z,w)=I(z,w)Q(z,w)−P(z,w),则方程(2a)—(2d)(m/=2)均可化为

我们证明了如下结论.

定理1 设w是方程(2a)—(2b)的有限级超越亚纯解,其中系数均为w的小函数且在(2d)中要求m/=2,a,b为两个不同的有限复数,且满足H(z,a)/≡0,H(z,b)/≡0.如果w和另一个亚纯函数˜wCM分担a,b,∞,则w≡˜w.

注1 在考察定理B的4个方程时,为方便研究,本文只考虑系数全为小函数的情形.

注2 定理B中要求超级小于1,但定理1中我们要求解是有限级,对于无穷级但超级小于1的情形,我们目前无法确定此定理是否仍然成立,我们的证明方法只适用于有限级,并且我们不能保证方程有限级超越亚纯解的存在性.

注3 定理条件中的CM分担∞不能省略.例如,w(z)=3是方程

注4 定理条件中的H(z,a)/≡0,H(z,b)/≡0不能省略.例如,w(z)=是方程

的有限级超越亚纯解,令~w(z)=−w(z),则w与~wCM分担0,i,∞,H(z,i)≡0,H(z,0)=1,但w(z)/≡~w(z).

注5 方程(2d)中如果m=2,此定理不成立.例如,w(z)=是方程

的有限级超越亚纯解.令 ~w(z)=e−z2,则w与 ~wCM分担1,−1和∞,且H(z,1)=H(z,−1)/=0,但 w(z)/≡ ~w(z).

1 引 理

下面介绍我们的证明所必需的引理.

引理1[5-6]设f(z)为方程P(z,f)=0的有限级超越亚纯解,P(z,f)是f(z)及其位移的差分多项式,如果P(z,a)/≡0,其中a是f的小函数,那么

引理2[6]设f是差分方程

的有限ρ级超越亚纯解,其中U(z,f),P(z,f),Q(z,f)是f及其位移的差分多项式.如果U(z,f)关于f及其位移的总次数degfU(z,f)=n,degfQ(z,f)≤n,并且U(z,f)中次数最大的项仅有一项,那么对于任意ε＞0,

可能需除去一个对数测度有限的例外集.

引理3[7]设f为开平面上非常数亚纯函数,R(f)两个互质的f的多项式,系数{ai(z)}和{bj(z)}均为f的小函数,且ap(z)/≡ 0,

证 明 不失一般性,可以假设a0≡1.在圆|z|=r上,设

对于r的固定的值,记E1为0≤ θ＜ 2π上的集合使得|f(reiθ)|≥ 2A(reiθ).记E2为其补集.在E1上,

所以

引理5[8]设η1,η2是两个复数(η1/=η2),f(z)是有限级亚纯函数且级为σ,则对任意ε＞0,

引理6 设w(z)是(2a)—(2d)中任一方程的非常数有穷级亚纯解,其中在(2d)中m/=2,则

证 明 由I(z,w)Q(z,w)=P(z,w)及引理2得m(r,Q(z,w))=S(r,w).

当Q(z,w)的次数不为0时,即(2a)—(2c)以及(2d)中m=−1,−2的情形,由引理4有

在方程(2d)中,当m=0时,

由引理5,m(r,w)=S(r,w).

当m=1时,

引理 7[9]设fj(z)(j=1,2,···,n,n ≥ 2)为亚纯函数,gj(z)(j=1,2,···,n)为整函数,满足以下条件.

其中E是对数测度有限的集合,则fj(z)≡0(j=1,2,···,n).

2 定理证明

假设w是方程(2a)的有限级超越亚纯解,w和~wCM分担a,b,∞,根据Nevanlinna第二基本定理,

同理,T(r,~w)≤3T(r,w)+S(r,~w),所以ρ(~w)=ρ(w)＜∞.

因为w和~wCM分担a,b,∞,所以存在多项式α,β,使得

由(4)式得T(r,eα)≤ T(r,w)+T(r,~w)+O(1)≤ 4T(r,w)+S(r,w),以及T(r,eβ)≤ 4T(r,w)+S(r,w). 因此max{ρ(eα),ρ(eβ)}≤ ρ(w).

令γ= β −α,如果eα≡ 1,或者eβ≡ 1,或者eγ≡ 1,则显然w ≡ ~w.下面假设eα/≡ 1,eβ/≡ 1,及eγ/≡ 1,则由(4)式可得

另外由(5)式还可得到

下面证明α,β,γ的次数都至少为一.如若不然,则有下列4种情况.

2.假如β是常数(eβ/=1),α次数至少为1,则γ次数也至少为1.令τ1=则τ1为非零常数,代入(5)式得由(2a),H(z,a)/≡ 0及引理1得S(r,w).故

矛盾;

3.假如α是常数(eα/=1),β次数至少为1,则γ次数也至少为1.令τ2=(b−a)(eα−1),则τ2为非零常数,代入(6)式得由(2a),H(z,b)/≡ 0及引理1得S(r,w).故

矛盾;

矛盾.

综上所述,α,β,γ的次数都至少为1.

现将(5)式代入方程(2a)中得

(7)式两边同时乘以(eγ(z)− 1)2(eγ(z+1)− 1)(eγ(z−1)− 1), 并注意到eβ(z+1)=eβ(z)+s1(z),eβ(z−1)=eβ(z)+s2(z),eγ(z+1)=eγ(z)+t1(z),eγ(z−1)=eγ(z)+t2(z),其中s1(z),s2(z)为次数至多是degβ−1的多项式,t1(z),t2(z)为次数至多是degγ−1的多项式,于是(7)式可化为

其中aij,bij,Aij是关于η,λ,µ,的多项式.计算可知

下面证明当0≤i,j≤ 4且i,j不同时为0时,degα=degβ=degγ=deg(iβ+jγ)=deg(iβ − jγ).

我们用N0(r)表示公共零点的计数函数,计重数.如果z0是eβ−1的κ1阶零点,是eγ−1的κ2阶零点,那么分析(5)式,由得

因为m(r,w)=S(r,w),故

由Nevanlinna第一和第二基本定理可得,

同理可证T(r,eγ)=T(r,w)+N0(r)+S(r,w). 所以T(r,eβ)=T(r,eγ)+S(r,w).

另一方面,对(6)式类似分析可得T(r,eα)=T(r,eγ)+S(r,w).因此,ρ(eα)= ρ(eβ)=ρ(eγ)= ρ(w),而α,β,γ为非常数多项式,所以存在某个正整数d使得deg(α)=deg(β)=deg(γ)=d.

下面证明

如若不然,则deg(iβ +jγ)＜ d,1≤ i≤ 4,1≤ j≤ 4,这表明eiβ+jγ是w和e−α的小函数.

又因为

而j/=0,所以T(r,eα)=S(r,w),矛盾,故(11)式成立.

下面证明

否则deg(iβ −jγ)＜ d,1 ≤ i≤ 4,1≤ j≤ 4,eiβ−jγ是w和e−α的小函数.

当i≥j时,

另一方面,

所以T(r,eα)=S(r,w),矛盾.

又因为

由Aij的性质可知,

由引理7可知Aij≡0,那么A00≡0,A04≡0,与(10)式矛盾.故假设不成立,只能w(z)≡~w(z).

对于方程(2b),(2c),(2d)(m/=2),我们用同样的证明方法也可以得到相应的结果,这里不再赘述.

[1] 杨乐.值分布论及其新研究[M].北京:科学出版社,1982.

[2]HAYMAN W K.Meromorphic Functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[3] LYU F,HAN Q,LYU W R.On unicity of meromorphic solutions to difference equations of Malmquist type[J].Bull Aust Math Soc,2016,93(1):92-98.

[4] RONKAINEN O.Meromorphic solutions of difference Painlev´e equations[J].Ann Acad Sci Fenn Math Diss,2010,155(31):1-59.

[5] HALBURD R G,KORHONEN R J.Difference analogue of the lemma on the logarithmic derivative with applications to difference equations[J].J Math Anal Appl,2006,314(2):477-487.

[6] LAINE I,YANG C C.Clunie theorems for difference and q-difference polynomials[J].J Lond Math Soc,2007,76(3):556-566.

[7] LAINE I.Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations[M].Berlin:Walter de Gruyter,1993.

[8] CHIANG Y M,FENG S J.On the Nevanlinna characteristic of f(z+η)and difference equations in the complex plane[J].Ramanujan J,2008,16(1):105-129.

[9] 仪洪勋,杨重骏.亚纯函数唯一性理论[M].北京:科学出版社,1995.

[10] 张继龙,杨连中.潘勒韦Ⅲ型差分方程的亚纯解[J].数学学报,2014,57(1):181-188.

(责任编辑:林 磊)

On uniqueness of meromorphic solutions to difference Painlev´e Ⅲ equations

WANG Xiao-ming,GAO Zong-sheng,CHEN Min-feng
(LMIBamp;School of Mathematics and Systems Science,Beihang University,Beijing 100191,China)

We investigate the uniqueness of finite-order transcendental meromorphic solutions to difference Painlev´e Ⅲ equations.We suppose w is a finite-order transcendental meromorphic solution to difference Painlev´e Ⅲ equation.If w shares two distinct finite values with another meromorphic function˜w and they have the same poles(counting multiplicities),we conclude that w≡˜w under certain conditions.

difference Painlev´e Ⅲ equation;transcendental meromorphic solutions;share values

O174.52

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.06.002

1000-5641(2017)06-0025-08

2016-12-12

国家自然科学基金(11371225)

汪晓明,男,硕士研究生,研究方向为复分析.E-mail:xiaoming.w@buaa.edu.cn.